通过 RC 放电电路，看见自然选择的数字：e
在 RC 放电电路中，我们总会看到这样的公式：
很多人会好奇：为什么偏偏是 e？它是怎么"长"出来的？
这并不是数学家强行塞进去的结果，而是：
从 KCL 出发，用元件本身的物理规律，一步步推到微分方程，再用最基础的积分和指数运算，自然冒出来。
本文就用放电电路做主线，从电路基础一步步算到，然后顺带看看：类似的指数行为，在自然界里还有多少"亲戚"。
一、RC 放电电路：从 KCL 开始
先看一个最基本的放电电路： 在时刻前开关一直处于闭合状态，，系统整个状态稳定，此时，C电容两端电压
在开关打开瞬间，电压保持，此时
电容，在时电压为 电阻，与电容串联 放电时刻起，电容通过电阻向地放电 节点电压记为
示意图可以想象为：电容与电阻串联，电容上端节点电压为，电阻下端接地。
取电容与电阻连接处为节点，写 KCL。约定：从节点流出的电流为正，则：
1. 电阻支路电流
电阻两端电压为，下端接地：
2. 电容支路电流
电容电流与电压的关系是：
这里的是电容值，我们后面不会再让任何"积分常数"也叫，避免混乱。
把两个电流表达式代回 KCL：
整理，把导数项单独放一边：
两边同除以：
到这里为止，我们只用了：
KCL 欧姆定律 电容电流公式
完全是“电路基础”，还没出现任何指数或对数。
二、变量分离：为积分做准备
从上面的微分方程：
把含的量挪到左边，含的挪到右边：
这一步叫变量分离，目的是为了：
左边只对积分，右边只对积分。
三、关键一步：为啥变成？
接下来，我们对两边积分。这里可以直接做定积分，把初始条件写进去。
在时，电容电压为：
在任意时刻电压为，于是：
这时用到一个非常基础的高中数学知识（可以在文章里点名说清楚）：
💡数学结论（高中水平）：
以及
也就是说：
的导数是 的积分就是（加上常数）
所以左边的定积分：
右边的定积分很简单：
于是有：
把对数合并一下：
到这里为止，我们是：
从电路方程出发 通过变量分离 用高中知识：
自然得到一个对数方程。
四、取指数：在这里被"请出来"
有了：
我们想把 "" 去掉，就要用它的反函数——以为底的指数函数。也就是说，对两边做同样的运算：取的指数：
左边根据
