19.补充数学2：动态规划-伏格尔法-博弈论-决策轮-排队论

一、动态规划 00:00

1. 例题:投资收益问题 00:03

1）题目解析

• 审题过程: 题目要求找出某公司投资甲、乙、丙三个项目的最大收益值，投资额以百万元为单位，总投资额为400万元。
• 解题思路: 采用穷举法，列出所有可能的投资方案及其对应的收益值，然后找出收益值最大的方案。
• 答案: 最大收益值为18百万元。
• 注意: 穷举法适用于选择题，简单且答案准确。投资方案只有25种（甲、乙各5种投资额，丙的投资额由总投资额减去甲、乙投资额得出），并非想象中那么多。

2. 例题:面包利润问题 03:39

1）题目解析

• 审题过程: 题目要求超市每天应进货多少面包以获得最大利润，给出了面包的进价、销售价及未售完面包的处理价，以及日销量的概率分布。
• 解题思路: 采用穷举法，列出不同进货量下，各种日销量对应的利润，然后计算平均利润，找出平均利润最大的进货量。
• 答案: 进货140个面包时，平均收益最大。
• 注意: 当天卖完的面包每个挣1元，未卖完的面包每个亏1元。计算平均收益时，需将各日销量下的利润乘以对应的概率（20%）后相加。

二、伏格尔法 07:38

1. 例题:运输成本问题 08:05

1）题目解析

• 审题过程: 题目要求选择最优的运输方案，使得三个煤场向三个工厂运煤的总运输成本最低。
• 解题步骤:
  • 第一步: 计算每行每列最小运费和次小运费的差值。差值越大，表明选择次小运费的代价越高。
  • 第二步: 选出差值最大的行或列，然后在该行或列中选择最小的运费进行供给。
  • 重复过程: 更新剩余煤场和工厂的供需量，划掉供需量为零的行或列，重复上述两步，直到所有煤场和工厂的供需量都为零。
• 答案: 最优运输方案的总运输成本为83百万元。
• 注意: 伏格尔法的本质是先考虑最小运费，若因其他条件限制无法选择最小运费，则考虑次小运费，但选择次小运费的代价（与最小运费的差值）需尽可能小。

三、博弈论 20:33

1. 例题：网站博弈论问题 20:44

• 基本概念：博弈论研究两个及以上独立决策者（≥2）在只考虑自身利益时的策略选择，参与者不会串通。
• 支付矩阵解读：
  • 双方高价：各得1000万元利润
  • 单方降价：降价方得1500万，另一方得200万
  • 双方降价：各得700万元利润
• 理性分析过程：
  • 对甲网站：无论乙选择高价或低价，降价始终能获得更高收益（1500>1000且700>200）
  • 对乙网站：同理可得相同结论
• 纳什均衡：双方独立理性选择导致（低价，低价）的稳定策略组合
• 现实启示：
  • 解释了互联网企业价格战的必然性（如滴滴快滴、美团点评合并前）
  • 说明双输结局源于个体理性与集体理性的冲突
  • 反垄断必要性：防止寡头通过合谋形成垄断高价

2. 例题：市场占有率变化 25:34

转移矩阵定义：

P=(0.80.20.40.6)P = \left( \begin{array}{ll} 0.8 & 0.2 \\ 0.4 & 0.6 \end{array} \right)P=(0.80.4​0.20.6​)

• 其中p(A→B)p(A→B)p(A→B)表示A份额转给B的概率
• 计算步骤：
  • 初始状态：[A B]=[0.5 0.5][A\ B]=[0.5\ 0.5][AB]=[0.50.5]
  • 首月计算：
    • A份额：0.5×0.8+0.5×0.4=0.60.5×0.8+0.5×0.4=0.60.5×0.8+0.5×0.4=0.6
    • B份额：1−0.6=0.41-0.6=0.41−0.6=0.4
  • 次月计算：
    • A份额：0.6×0.8+0.4×0.4=0.640.6×0.8+0.4×0.4=0.640.6×0.8+0.4×0.4=0.64
    • B份额：1−0.64=0.361-0.64=0.361−0.64=0.36
• 结果分析：两个月后A份额增加14%（64%-50%），B份额减少14%
• 矩阵阅读技巧：
  • 第一列元素归A（保持+转入）
  • 第二列元素归B（保持+转入）

四、排队论 29:40

1. 例题：博览会排队论问题 30:04

• 变量设定：
  • A：8点前排队人数
  • Z：每分钟新增人数
  • Y：单入口每分钟检票量
• 方程建立：
  • 8入口60分钟：8×60×Y=60×Z+A8×60×Y=60×Z+A8×60×Y=60×Z+A
  • 10入口40分钟：10×40×Y=40×Z+A10×40×Y=40×Z+A10×40×Y=40×Z+A
• 关键推导：
  • 解得：Z=4YZ=4YZ=4Y（平衡需4个入口）
  • 初始排队量：A=240YA=240YA=240Y
• 20分钟方案：
  • 需满足：X×20×Y=20×4Y+240YX×20×Y=20×4Y+240YX×20×Y=20×4Y+240Y
  • 解得：X=16X=16X=16
• 运营策略：
  • 8:00开16个入口
  • 8:20后只需4个维持平衡
• 解题要点：
  • 类比"水池进出水"问题
  • 通过差值法消元求解
  • 实际应用需考虑成本最小化

五、决策论 35:06

1. 按决策环境分类

• 确定型决策: 决策环境是确定的，结果也是确定的。
• 风险决策: 决策环境是不确定的，但结果发生的概率是一致的。
• 不确定型决策: 决策环境不确定，且结果也不确定，完全凭主观意识来决定。

2. 决策的六个要素

• 决策者: 决策的人。
• 可供选择的方案: 包括行动、策略等。
• 衡量选择方案的准则: 目的、目标、正确性等。
• 事件: 被决策的对象。
• 每一事件的发生将会产生的某种结果。
• 决策者的价值观: 主观因素。

3. 决策准则

• 悲观主义准则（小中取大max(min)）: 先取每个方案最小的收益，再取所有最小收益中最大的那个。
• 乐观主义准则（大中取大max(max)）: 先取每个方案最大的收益，再取所有最大收益中最大的那个。
• 折中主义准则: 设定折中系数a，用每个方案的最大收益a+最小收益(1-a），选择每个方案中计算结果最大的那个。当a=1时为乐观主义，a=0时为悲观主义。
• 等可能性准则: 设定每个可能的结果的发生都是等可能的，将不确定型的问题转换为风险决策问题。
• 后悔值准则（最小最大后悔值min(max)）: 在不同的环境中，投资方案获得的最大收益-当前选择的收益=后悔值，将所有后悔值中每个方案的最大后悔值选出，再从这些最大的后悔值中选择最小的。

4. 例题:决策矩阵悲观主义选取 36:26

1）题目解析

• 审题过程: 给定一个决策矩阵，包含积极、稳健、保守三种投资策略在不同经济趋势下的预计收益。
• 解题思路: 按照悲观主义准则，先取每个方案最小的收益（积极50万，稳健100万，保守200万），再取所有最小收益中最大的那个（200万）。
• 答案: 选择保守方案。

5. 例题:电子商务公司决策树问题 41:44

1）题目解析

• 审题过程: 电子商务公司需从A地向B地发送货物，有水陆两条路线可选，考虑运输成本和天气因素（暴风雨概率1/4）。
• 解题思路: 画出决策树，计算水陆和陆路在不同天气情况下的总成本。水路成本=70000.75+(7000+900000.1)*0.25，陆路成本=10000。
• 答案: 比较两种路线的成本，选择成本较低的路线。

六、数学建模 44:44

1. 数学建模过程 45:12

• 模型准备: 了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，用数学语言来描述问题。
• 模型假设: 根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并提出恰当的假设。
• 模型建立: 在假设的基础上，利用适当的数字工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。
• 模型求解: 利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
• 模型分析: 对所得的结果进行数学上的分析。
• 模型检验: 将模型分析结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性。
• 模型应用: 应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

2. 数学建模方法

• 直接分析法: 根据对问题直接的内在的认识，直接构造出模型。
• 类比法: 根据之前类似的模型构造出一个新的模型。
• 数据分析法: 通过实验获得与问题相关的大量数据，用统计分析的方法来进行建模。
• 构想法: 对将来可能发生的情况给出逻辑上合理的方法和描述，而后用现有的方法来建模，并不断完善。

七、知识小结