一、简介
20世纪电子技术的迅速发展得益于一种简单但功能强大、被称为（集总）电路理论的工具的应用，该理论能够准确预测复杂电路的性能。电路理论考虑串联和/或并联连接的集总元件（电阻R、电容C、电感L、受控源）的影响，而导线不起作用（与空间无关的电压v、电流i）。事实上，元件和导线提供了一个框架，电荷在其上移动，建立起电场和磁场（矢量场）并决定电路的行为。基于麦克斯韦方程组的全矢量分析是最完整的。
1.1 电信号的速度
有人会说信号的速度不就是电子移动速度吗？当然不是，反直觉的是导线中电子移动的速度很是缓慢。在电路中，电子受电场作用产生的定向移动速度被称为漂移速度。电流的产生与微观粒子的运动紧密相关。
假设单位体积内的导体中有n个带电粒子，每个粒子带有电荷量e，且它们以速度v在导体中做定向运动。如果考虑导体的截面积S和单位体积长度L，那么在单位时间内t内，通过截面S的电荷量Q满足：
电流定义是单位时间内通过的电荷量，两边同时对时间t微分就能得到电流I。以1mm²的铜导线为例，通1A电流时，电子漂移速度仅约0.07mm/s，比蜗牛爬行还慢。
可见电信号如果以漂移速度传播信息，那就太慢了，与我们直觉是不符的。电流是在电场的作用产生的，因此可以想象电场建立就伴随这电流的产生，可见电场的建立速度才是电信号的传播速度。电路中信号建立的速度，近似等于光速的50%-99%，具体取决于导线材质、绝缘层和周围介质。
1.2 集总电路不适用的情况
电力公司通过在空气中传播的60赫兹正弦波来分配电力（振荡周期T = 1/60秒，速度v = c）。电源和负载信号，即VAA′(t)=V0cos(2π⋅60⋅t)和VBB′(t)=V0cos[2π⋅60⋅(t−td)]，存在一个“不可忽略”的时间延迟td=l/v（因此如果td>0.01T（经验法则），可见导线对于电路已经存在了不可忽略的影响。当l>50千米，集总电路模型是不充分的。因此，电力系统的运行依赖于分布电路分析。
在数字电子电路中，上升时间tr被定义为信号从其最终值的10%变化到90%所需的持续时间（图a）。对于1厘米的片上二氧化硅（SiO2）互连，速度v≈0.5c，延迟时间td=l/v≈67皮秒（1皮秒 = 10−12秒）。如果trtd≈165皮秒（经验法则），则电源和负载信号存在“不可忽略”的时间延迟，器件之间的互联线不再可以忽略。CMOS晶体管的上升时间可以快至100皮秒，这时就需要分布电路理论。
经过上面的讨论，当电路尺寸很大，互联线尺寸比如很大。由于电信号传播速度有限，其在互联线传播时间很难再被忽略。而对于高速电路系统而言，由于系统速度很高，处理的信号时间达到ps级，所由对信号这个量级影响将不再可以忽略。即便信号尺寸小，信号传递时间依然不再可以忽略。
经验法则，人们定义电小尺寸，定义不可忽略忽略最小尺寸。在电磁学与电路分析领域，电小尺寸是指物体或电路的几何尺寸远小于其工作波长λ的状态，通常满足：
其中l为目标的最大几何尺寸，λ为信号在介质中的工作波长。
比如工频50/60Hz电力系统，信号波长λ=c/f≈5000km，日常家用导线仅几米级，远小于λ/10，可以直接用集总参数电路模型分析，无需考虑分布参数效应。
当工作频率提升到微波频段（如10GHz），自由空间波长仅3cm，此时哪怕几毫米的PCB走线都可能进入电小尺寸临界区间，需要结合分布电路理论分析。
二、传输线等效电路
2.1 传输线
传输线（transmission line）是用于引导电磁能或电信号从一点传输到另一点的线状结构，是射频与通信系统的核心组成部分。当传输信号的波长与导线几何尺寸可比拟时，必须考虑电阻、电感、电容、电导沿线的分布效应，需要用专门的传输线理论分析，这是它和普通低频导线的核心区别。
传输线可以大致分成三种类型。第一中是双导体传输线，他由两根或者两根以上的平行导体构成。其传输的电磁波是TEM或者准TEM波，故又称为TEM波传输线，主要包括平行线，同轴线，带状线和微带线等。第二类是均匀填充介质的金属波导，因电磁在管内传波，故称为波导。包括矩形波导，圆波导，脊形波导和椭圆波导。第三类是介质传输线，电磁波沿传输线表面传播，被称为表面波波导，主要包括介质波导，镜像线和单根表面波传输线等。
匀传输线的分析方法通常有两种：一种是场分析法，即从麦克斯韦方程出发，求出满足边界条件的波动解，得出传输线上电场和磁场的表达式，进而分析传输特性；另一种是等效电路法，即从传输线方程出发，求出满足边界条件的电压、电流波动方程的解，得出沿线等效电压、电流的表达式，进而分析传输特性。前一种方法较为严格，但数学上比较繁琐，后一种方法实质是在一定的条件下“化场为路”，有足够的精度，数学上较为简便，因此被广泛采用。
2.2 传输线等效模型
由均匀传输线组成的导波系统都可等效为下图(a)所示的均匀平行双导线系统。其中传输线的始端接微波信号源（简称信源），终端接负载，选取传输线的纵向坐标为z，坐标原点选在终端处，波沿负z方向传播。在均匀传输线上任意一点z处，取一微分线元Δz（Δz≪λ），该线元可视为集总参数电路，其上有电阻RΔz、电感LΔz、电容CΔz和漏电导GΔz（其中R，L，C，G分别为单位长电阻、单位长电感、单位长电容和单位长漏电导），得到的等效电路下图(b)所示，则整个传输线可看作由无限多个上述等效电路级联而成。有耗和无耗传输线的等效电路分别下图(c)，(d)所示。
我们分析有损传输线的情况，他比无损传输多了电阻，只要在得到结论中忽略掉电阻就不难得到有损传输线的情况。设在时刻t，传输线某处z的电压电流分别位u(z,t)和i(z,t)。在位置z+Δz处的电压电流分别为u(z+Δz,t)和i(z+Δz,t)，Δz是一个高阶小量。
对上述单元应用基尔霍夫电压和电流定律可以得到下面方程组：
u(z+Δz,t)-u(z,t)和i(z+Δz,t)-i(z,t)的值可以表示成偏微分，这样就能消除式中的高阶小量。
得到下面的偏微分方程组。这就是传输线方程也称为电报方程。
对于电路处理来说，使用拉普拉斯变化求解上述方程对我们来说更简单。其思想是是将电压电压转换拉式域消除时间t，求得结果后进行逆拉普拉斯变化得到时域的解。对上述方程两边同时进行拉普拉斯变换，消去时间导数项，有下面结果。
可以看出微分方程被从偏微分方程变成了常微分方程，这就是变换带来的好处。为了联立两个方程，对上述方程组对z进行二次求导。
带入消元后得到两个微分方程：
上述方程式是二阶齐次线性微分方程，如果(R+Ls)(G+Cs)为常数，上述就是二阶常系数齐次性微分方程组，其通解很容通过求系数的根得到。我们这里分析的是均匀传输线，因此可以看作相对于z是常数。这里讨论其为这种情况，令γ(s)=sqrt((R+Ls)(G+Cs))，得到通解为。
结合传输方程上式中，电流还可以表述为：
上式中的系数等于：
特性阻抗Z0是传输线的固有特性参数，反映了传输线对行波的等效阻碍作用。特性阻抗是仅由传输线本身参数决定的复常数，与传输线长度无关。
上面公式表明，当入射信号沿传输线传播到负载端（阻抗突变界面）时，为了满足界面两侧电压、电流连续的边界条件，会分裂为两个分量：透射分量（传输电压）和反射分量（反射电压）。这对此稍作解释，负载得到的功率可以电压电流的乘积表示：
上式分子分母同除ZL，可以变化为类双钩函数。由双钩函数性质不难得出，当ZL=Z0时负载功率才能获得最大值。当ZL->∞或ZL=0时功率都会变成0。透射分量穿过阻抗界面继续向负载方向传输，反射分量在界面处生成后，沿传输线反向向信号源端传播，不会继续流向负载。
一般将传输线任意一点z的入射电压和反射电压之比称之为反射系数：
电报方程的解也可以用反射系数表示为：
2.3 传输线方程的时域解
2.3.1 传输方程方程的一般时域解
对于一般有损传输线，无法直接用时移性质逆变换，需要通过逆变换的卷积性质推导：
其中：
利用拉普拉斯逆变换的延迟卷积定理，对入射波项做拉普拉斯逆变换，结果为：
I1(⋅)是第一类一阶修正贝塞尔函数，δ(⋅)是冲激函数，u(⋅)是单位阶跃函数。上述传输线是一般的情况，存在波形畸变（色散），需要数值计算得到结果。这种高损耗传输线，对不同频率会有不同色散（传播速度不同），这是我们所不希望。色散的存在将使传输信号严重失真。
2.3.2 低损耗传输线的时域解
工程中大部分实际场景都是低损耗传输线，满足 R≪ωL,G≪ωC（对正弦稳态而言），此时可以对 γ(s) 做泰勒展开近似，并只保留一阶项得到。这里 Z0近似为常数，α 是固定衰减常数。
代入s域解后，得到简化形式：
利用拉普拉斯时移性质直接逆变换，得到低损耗近似下的时域解：利用拉普拉斯时移性质直接逆变换，得到低损耗近似下的时域解：
和一般情况的传输线相比，区别仅在于：信号每传播单位距离，幅度会按指数衰减，波形形状和波速保持不变，非常直观。
2.3.4 无损耗传输线的时域解
对于无耗传输线，R=0,G=0，此时：
同上面的方法，利用拉普拉斯时移性质直接逆变换，可以得到时域信号的精确解：
相对于低损耗传输线，无损耗传输线入射波和反射波分别以恒定速度v向+z和−z方向传播，传播过程中波形完全不发生畸变。
2.3.5 传输线的边界条件
上面给出一般的时域解，但是u1(t)和u2(t)如何确定呢，这两个时域解可以由传输的边界条件得到。
目前有下面三个边界条件帮我们确定待定系数，终端电压UT(s)（时域ut(t)）和终端电流IT(s)（时域it(t)）;源端电压Us(s)（时域us(t)）和源端电流Is(s)（时域is(t)）;负载阻抗ZL，源阻抗Zg和信号源Ug(s)。
终端边界条件：
将边界z=0时的条件代入上面的通解：
联立上式可以解出：
根据终端电流，电压和阻抗的关系，进一步得到：
源端边界条件：
将边界z=l时的条件代入上面的通解：
联立上述方程组得到：
源端电压和电流和信号源Ug(s)和内阻Zg(s)满足下面的公式：
联立上述方程变为：
联立终端和源端边界条件，消除UT(s)：
可以得到US(s)为，Γg称为源端的反射系数，其说明了源端的匹配程度。
将US(s)带入得到U1(s)和U2(s)的解为：
因此我们在求u1(t)和u2(t)时只需要对上述的公式做拉普拉斯逆变换就能得到。 下面只讨论低损耗传输线和无损耗传输线的情况。根据几何级数关系我们能得到：
假设源阻抗和和终端阻抗都是实数，即纯电阻，上面的拉普拉斯逆变换将会变得简单些：
最后得到传输上线的电压的分布关系：
上式的物理意义非常清晰：这是多次往返反射的叠加解，每一次反射后幅度按 (ΓgΓLe−2αl) 衰减，按传播时延依次出现在时域。而且能看出当源阻抗或者终端匹配，即Γg=0或者ΓL=0这种多次往返反射的情况将会消失。对于无损传输线，上述项中的α衰减项将会被去掉，衰减有反射系数确定。无损耗的传输线上式变为：
2.3.5 阶跃信号的时域解
阶跃信号有很多数字信号的性质，研究阶跃信号很有意义。如果输入是阶跃信号 Ug(t)=U0u(t)，则 Ug(s)=U0/s，传输线为无损耗传输，逆变换后得到时域解析解：
Γg和ΓL都不为0时：
对于阶跃函数只有当t>[(2n+1)l±z]/v时，其函数值从0变为1。这说明随着n的增大，对应波形项出现在公式中的时间越晚。这也很容以理解n代表第n次反射后的波形，其出现反射次数越大自然出现的越晚。
假设经历的时间足够久了，那么所有项都出现了，此时的电压为稳态电压。ΓgΓL＜1，通过几何级数可以得到。即便是电压来回地反射，最终的稳态电压和特性阻抗是无关的，最终都会稳定到下面值。
仿真运行得到源端和终端的时域信号波形如下如图所示。红色是终端波形，蓝色是源端波形。
终端匹配ΓL=0时：
当终端匹配时ΓL=0，终端信号不会出现反射，上式中仅存在n=0的情况。此时稳态电压看似和特性阻抗有关，但是有终端匹配ZL=Z0，可见稳态电压还是前面相同。公式说明，信号仅存在一个时延，不会多次来回地反射。
值得注意的是，终端匹配后和终端即源端都匹配得到公式和上面是一样的。由于Zg=Z0，终端得到的电压是1/2U0。
源端匹配Γg=0时：
当源端匹配时Γg=0，终端信号只会发生一次反射，上式中也仅存在n=0的情况。可见除了一个正向传播的信号，还存在一个反射波，和预想的一样。
源阻抗匹配后效果如下，可以看见源阻抗匹配后VIN会有台阶，但是末端信号确实正常的。这是我们经常会遇见的现象，测量一些高频信号如果测量是走线中间会看见明显的台阶，这是正常的。但是测试点在中间测试数据是不真实的，应为信号是要求背传输到末端的，此时末端的数据才是可靠的。
2.3.6 时谐信号传输线的时域解
任何迪利克雷判条件的信号都可以表示成一些三角函数的和形式。因此我们这里重点分析三角函数为信号源时，上述电路时域解。假设源信号Ug(t)=Asin(ωt)，传输线的源阻抗和负载电阻均为纯电阻，满足低损耗低损耗传输线的条件：
上述表达式太复杂了，虽然可以分析信号的每个位置的瞬时状态。对正弦信号而言，我们肯定更多的关注其稳态特性。下面我们介绍正弦稳态分析法。
*正弦稳态分析法的原理
正弦稳态是指：传输线已经完成了所有暂态过程，任意位置的电压/电流都是与源同频率的正弦信号，仅振幅和相位随位置变化。传输线可以看出一个线性时不变系统，并不会产生新的频率使用正弦稳态分析法时合理的。弦稳态分析的核心原理基于线性时不变系统的齐次性+叠加性和正弦信号的微分不变性。
根据线性时不变系统的特性：单一频率正弦激励下，稳态响应一定是同频率的正弦信号，仅振幅和相位相对于激励发生变化。因此我们不需要求解含时间的完整瞬态解，只需要计算响应的振幅和相位两个参数即可，这是相量法成立的核心基础。由欧拉公式可知：
从上面公式可见，一个正弦型号可以用一个复指数的的是不表示。我们可以使用复指数代替正弦信号作为系统信号输入。根据线性识别不变系统的可加性可知，系统响应输出也被分成了虚部和实部两部部分。线性时不变系统输入的正弦信号稳定后，只会改变输入信号的相位和幅值。
h(t)一般是真实信号系统，输入实信号输出任然为实信号。虚信号则可以看成i的乘积，根据比例性原理其输出任然为虚信号。因此很容易，知道正弦信号的输出系统的响应为系统输出的实部。即：
因为传输响应输出也可表示成三角函数，这里令：
将上面两式带入电报方程，就能消除时间的积分项：
可以看出式子中每一项包含电流或电压的项都包含了指数，可以消除复指数，这就是使用复指数带来的好处。很多时候再用稳态分析法时我们都会忽略掉复指数，这里只是为了展示稳态分析的原理才写了出来。
经过处理，现在的电报方程已经和拉普拉斯变化的形式一致了。我们直接使用前面的结论可以得到上述方程的解为：
上式中：
到这里已经求处U(z,ω)和I(z,ω)，它们很可能是一个复数。将其这个复数的模和相位和之前消掉复指数，组成了完整响应，我们只要求出其实数部分就得到了正弦信号的稳态响应。与拉普拉斯逆变换相比，求复数的相位角和模值相对了说简单了很多。前面的边界条件的结论依然适用：
令γ(ω)=α()+jβ(ω)，上面公式变为：
根据前面的讨论可知，稳态电压和电流分布为：
可以得到的u(z,t)：
Φu2(ω)说由终端反射系数对输入波造成的相移。虽然得到稳态下时域的电压分布，上述表达式依然很复杂，我按照前面的方式无损传输线，低顺传输线和有损传输线三种情况下的变化。为了最简单，我们还认为源电阻和终端电阻为纯电阻，有Φu2(ω)=0。
无损传输线：
假设传输满足无损耗条件，γ(ω)的值采样前面拉普拉斯变换的数值，α和β都是实数，且α=0，β=ω/v。于是有：
关注终端电压，令z=0，得到：
当信号的周期Tωl/v)≈1。这说明，此时传输线对信号几乎没有影响，终端接收到的电压仅由源端内阻和终端负载比值绝对。这和集总电路得到的结果时一样的。
当不满足上述条件时，传输线对电压幅值影响将不在可以忽略。在阻抗不匹配的情况下，不同信号频率或者不同的传输线都将对信号产生不同程度的衰减和相移。所以在高频线路中阻抗匹配都是极为重要的。
为了说明这个现象现在我们使用ADS仿真进行验证，搭建仿真电路如下图：
仿真分析结果如下：
将频率改为233.33333MHz，输出响应发生了巨大变化。显然在阻抗不匹配时，传输线终端电压会因为频率变化而变化。这就是阻抗不匹配的其中一个危害。
仿真得到源端和终端不匹配时传输线的频率响应曲线。代入仿真值ΓgΓL=-2/3，中间根号相数值在1到5之间，和下面的仿真结果一样。
当源端阻抗匹配时：
仅源端匹配时的频率响应。从下图可以看见虽然电压无衰减地传输到负载上，看起了似乎很好。我们在前面讨论过负载不匹配会造成反射，使入射电压变小，传输到负载功率很小。所以在射频上为了实现功率的传输一定要做终端的阻抗匹配。
终端匹配时：
仅终端匹配时的频率响应，只源端匹配可以消除两边阻抗不匹配带来的终端电压幅度随频率变化的问题。和终端匹配一样，为了保证信号的功率能够最大地传输到传输线上，源端也要做阻抗匹配。
源端和终端均都匹配时的频率响应，电压幅度为信号源幅度1/2。所以很多函数型号发生器都会有一个50ohm负载模式，会将源端电压变为原来的2倍，补偿衰减的电压。虽然电压衰减了，此时负载能得到的功率确实最大。
分布电路（传输线）理论连接了电路理论和麦克斯韦方程组。一方面，它可以描述一些在电路理论中不存在但在功率传输和现代集成电路中至关重要的波特性（波长、相速度、反射等）。另一方面，它像电路理论中一样处理标量量（v，i）（但多了一个空间变量z），无需复杂的矢量分析。
