计算机中级-数据库系统工程师-关系运算(1)

一、关系运算

1. 并

1）并集的基本概念与高中数学中的并集

• 集合运算基础: 高中数学中的并集运算A∪B表示由属于A或属于B的元素组成的集合，在关系运算中原理类似
• 可视化理解: 在维恩图中表现为两个集合外轮廓组成的整圈区域

2）关系运算中的并集及前提条件

• 前提条件: 关系R与S必须具有相同的关系模式才能进行并运算
• 运算定义: 记作R∪S={t∣t∈R∨t∈S}，其中t为元组变量

3）相同关系模式的定义

• 严格定义: 不仅要求属性名称和个数相同，还要求对应属性的数据类型、取值范围（域）必须一致
• 数据格式要求: 例如日期属性必须同为DATE类型，不能一个为DATE一个为CHAR

4）实例：学校两个学院学生信息表的合并

• 实际案例: 外语学院与计算机学院合并学生信息表时，必须确保两表的字段结构完全兼容
• 格式冲突示例: 出生日期字段若一个为DATE类型，一个为CHAR类型则无法合并

5）并集的结果与元组构成

• 结果构成: 由属于R或属于S的元组组成，且自动去除重复元组
• 元组概念: 每行数据称为一个元组，结果集的关系模式与原关系相同

6）例题1：求两个关系的并集

• 解题步骤:
  • 确认两关系模式相同（属性ABC）
  • 合并所有元组并去重
  • 结果包含：ABC、bad、cde、dfg、fhk
• 去重原则: 如bad在两关系中重复出现，结果中只保留一个

2. 差

• 运算定义:R−S={t∣t∈R∧t∉S}，表示在R中但不在S中的元组
• 前提条件: 同样要求两关系具有相同的关系模式
• 判断方法: 以R为基准逐条检查，保留不在S中的元组
• 实例解析:
  • ABC在R不在S → 保留
  • bad在R也在S → 排除
  • cde在R不在S → 保留
  • dfg在R也在S → 排除

3. 广义笛卡尔积

1）广义笛卡尔积的定义

• 基本概念: 记作R×S，不要求关系模式相同
• 结果结构: 若R为n目关系，S为m目关系，则结果为(n+m)列

2）广义笛卡尔积的属性列构成

• 属性命名: 同名属性需加关系名前缀区分（如r.B和s.B）
• 列合并规则: 结果包含R的所有属性列在前，S的所有属性列在后

3）广义笛卡尔积的元组值构成

• 生成方法: R的每个元组与S的所有元组组合
• 实例演示:
  • R有元组(1,2)和(3,4)
  • S有元组(a,b,c)、(a,b,e)、(c,d,e)
  • 结果为6个元组：(1,2,a,b,c)、(1,2,a,b,e)...(3,4,c,d,e)

4. 投影及广义投影

1）投影的定义与运算

• 运算本质: 垂直方向（列方向）的选择操作
• 表示方法:πA(R)表示从R中选择属性列A组成新关系
• SQL对应: 相当于SELECT语句中的列选择

2）广义投影的定义与运算

• 扩展功能: 允许在投影列表中使用算术表达式
• 表示方法:πF1,F2,...,Fn(R)，其中Fi为算术表达式

3）例题1: 投影运算实例

• 案例场景: 从工资表salary中仅查询ID和基本工资
• 运算表示:πID,基本工资(salary)
• 结果特征: 结果关系只包含指定两列，行数不变

4）例题2: 广义投影运算实例

• 计算需求: 查询每个职工的基本工资与奖励总和
• 运算表示:πID,基本工资+奖励(salary)

5. 选择

• 运算方向: 从关系的水平方向进行运算，即选择符合条件的行（元组）
• 符号表示: 记作σF(R)，其中σ读作"sigma"
• 形式定义:σF(R)={t∣t∈R∧F(t)=true}
• 条件表达式:
  • 运算对象: 可以是属性名、列的序号或常数
  • 运算符: 包括算术比较符(<,>,≥,≤,≠)和逻辑运算符(∧,∨,¬)
• 重要区别:
  • 无引号数字: 表示列的序号，如σ1>6(R)表示选择R中第1列值大于第6列值的元组
  • 带引号数字: 表示具体数值，如σ1>′6′(R)表示选择R中第1列值大于数字6的元组
• 记忆技巧:

  • σ符号上方的小尾巴是平的，联想为"水平"方向选择行

  • 与投影运算π（竖线联想为"垂直"方向选择列）形成对比

1）例题:求关系代数运算表达式

• 题目解析:
  • 笛卡尔积(R×S):
    • 属性列合并规则：保留原关系名称作为前缀（如R.A, S.B）
    • 元组数量：R的元组数×S的元组数（本例为4×3=12行）
  • 投影运算(π_{A,C}(R)):
    • 垂直选择R中的A列和C列
    • 结果列顺序按指定顺序排列
  • 选择运算(σ_{A>B}(R)):
    • 比较列名时：按字母顺序判断大小（b>a, d>c等）
    • 等价表示：也可写作σ_{1>2}(R)
  • 复合运算(σ_{3<4}(R×S)):
    • 先计算R×S，再在结果中选择第3列值小于第4列的元组
    • 列序号计算：从左到右依次编号（R.A=1, R.B=2,...,S.C=6）
• 易错点:
  • 混淆带引号和不带引号数字的含义
  • 笛卡尔积中同名属性的前缀处理
  • 字母比较时的大小判断规则（按字母表顺序）

6. 扩展的关系运算

1）交

• 前提条件：关系R与S必须具有相同的关系模式
• 运算定义：由同时属于R和S的元组构成，记作R∩S，形式定义为R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
• 运算过程：
  • 以任一关系为基准（如R），逐个检查其元组是否也存在于另一关系（如S）中
  • 示例中关系R和S的交集结果为{4,5,6}，因为这是唯一同时出现在两个关系中的元组
• 可视化理解：可以想象为两个集合的重叠部分，即"既在R当中，也在S当中"的中间区域

2）连接运算

• 本质特征：是笛卡尔积的扩展形式，在笛卡尔积基础上增加了条件选择
• 与笛卡尔积的区别：
  • 笛卡尔积：无条件组合两个关系的所有元组和属性
  • 连接运算：只选择满足特定条件的笛卡尔积结果行
• 分类依据：根据选择条件的不同分为三种类型
  • θ连接（theta连接）：使用任意比较运算符的条件
  • 等值连接：专门使用等号"="作为比较条件
  • 自然连接：特殊的等值连接，自动匹配同名属性并消除重复列

3）连接

• θ连接
  
  • 定义与运算规则
    • 本质：θ连接是一种有条件的笛卡尔积运算，通过比较运算符筛选符合条件的元组
    • 数学表达：R⋈XθYS=σXθY(R×S)，其中θ为比较运算符（>、<、=、≠），X和Y分别为R和S上可比较的属性组
    • 运算步骤：
      • 先计算关系R和S的笛卡尔积R × S
      • 在笛卡尔积结果中选择满足XθY条件的元组
    • 属性要求：参与比较的属性组必须具有可比性，如数字与数字比较，不能是字母与数字比较
  • 例题：θ连接求解
    
    • 题目解析：
      • 给定关系R(A,B)和S(B,C)，求R⋈R.A<S.B
      • 标准解法：
        • 计算R×S得到12行6列的中间结果（R有4行，S有3行）
        • 筛选满足R.A < S.B条件的元组
      • 简化技巧：
        • 直接比较R.A列与S.B列的值，避免完整计算笛卡尔积
        • 以R为基准：依次比较R.A(2,3,4)与S.B(1,8)
          • 2<8 → 保留(2,1,4,6,8)
          • 3<8 → 保留(3,4,5,6,8)
          • 4<8 → 保留(4,6,7,6,8)
        • 或以S为基准：找出S.B > R.A的所有组合
      • 结果验证：两种方法得到相同结果，验证了运算正确性
    • 易错点：
      • 忽略属性可比性要求
      • 混淆属性前缀（需明确R.A或S.B）
      • 笛卡尔积计算错误导致后续筛选出错
    • 记忆技巧：
      • "θ连先积后筛选，属性前缀不能忘"
      • "简化计算有诀窍，直接比较效率高"
• 等值连接
  
  • 定义：当连接条件θ为"等于"时称为等值连接，记作R⋈X=YS，其中X和Y是关系R和S中的属性组。
  • 操作特点：
    • 不需要先计算笛卡尔积，直接寻找满足R.A=S.C的元组组合
    • 示例中关系R有4行，关系S有3行，理论上笛卡尔积有12行，但等值连接只需匹配特定条件
  • 匹配方法：
    • 逐列比较属性值，如示例中比较R.A与S.C
    • 建议用记号标注比较列避免混淆
    • 匹配结果包含两个关系的所有属性列
  • 例题:等值连接求解
    • 解题步骤：
      • 确定连接条件R.A=S.C
      • 逐行比较R.A列与S.C列的值
      • 找到匹配值c和d对应的元组
      • 组合匹配元组形成结果关系
    • 注意事项：
      • 容易出现视觉混淆，建议做标记辅助
      • 需要检查所有可能的匹配组合
      • 结果保留两个关系的全部属性
• 自然连接
  
  • 特殊性质：
    • 是等值连接的特例，要求比较的属性组必须同名
    • 必须比较所有同名属性（如R.A=S.A且R.C=S.C）
    • 结果中去除重复的属性列
  • 与笛卡尔积关系：
    • 若无同名属性，自然连接退化为笛卡尔积
  • 操作流程：
    • 识别所有同名属性组
    • 执行等值连接（所有同名属性值相等）
    • 在结果中去掉重复的属性列
  • 实际应用：
    • 数据库查询中最常用的连接方式
    • 对应SQL语句：SELECT * FROM R NATURAL JOIN S
  • 例题:自然连接求解
    
    • 解题步骤：
      • 识别同名属性A和C
      • 执行等值连接R.A=S.A且R.C=S.C
      • 在结果中去掉重复的A、C列（保留R.A和R.C）
      • 组合匹配元组形成最终结果
    • 特殊情况处理：
      • 当S表新增acf行时，结果需包含所有匹配组合
      • 示例结果应包含abcd和abcf两行
    • 数据库实例：
      • 学生表（学号，姓名）与成绩表（学号，成绩）的自然连接
      • 结果包含学号、姓名、成绩三列
      • 对应SQL：SELECT * FROM 学生,成绩 WHERE 学生.学号=成绩.学号

4）除

• 例题1: 除法求解实例
  • 求解步骤：
    • 找相同属性列：首先找出关系r和s中相同的属性组（如CD）
    • 确定属性值：在s中找出这些相同属性列的值（如cdef）
    • 筛选匹配行：在r中找出属性列值与s相同的行（如CD=cdef的行）
    • 提取结果列：找出这些行中与s不同的属性列的值（如AB）
    • 验证结果：确保当右边属性值相同时，左边结果列的值也相同（如AB相同）
  • 具体实例：
    • 当CD=cdef时，AB的值相同（都是AB），因此AB在结果中
    • 当CD=ef时，AB的值不同（CF和gh），因此不满足条件
    • 最终结果为包含AB列的关系
  • 结果列确定：结果只包含r中与s不同的属性列（如AB）
• 除法结果为空集的情况
  
  • 空集条件：当在r中找不到任何行满足右边属性值相同且左边结果列值相同时
  • 空集表示：结果表结构保留（如AB列），但内容为空
  • 示例说明：
    • 如果去掉CD=cdef和CD=ef的行
    • 则r÷s结果为只有AB列的空表

二、知识小结