计算机进制表示

1.进制的表示

• 二进制（Binary）：基数为2，使用0、1两个数码

前缀表示法：0b 或 0B（现代编程语言） c 0b1011, 0B1100, 0b11111111 后缀表示法：B 或 b text 1011B, 1100b, 11111111B

• 八进制（Octal）：基数为8，使用0-7八个数码

前缀表示法：0（数字0开头） c 017, 0237, 0777 注意：这是C语言家族的标准，0开头的数字会被解析为八进制 后缀表示法：O 或 Q（避免与数字0混淆） text 17O, 237Q, 777Q 历史原因：早期用O作后缀，但易与数字0混淆，后来有些系统改用Q

• 十六进制（Hexadecimal）：基数为16，使用0-9、A-F十六个数码

前缀表示法：0x 或 0X（C/C++/Java等语言常用） c 0x18F, 0XAB3, 0xFF 后缀表示法：H 或 h（汇编语言、书面表示常用） assembly 18FH, 0FFh, A3Bh 注意：以字母开头的十六进制数加后缀H时，前面要加0，如0A3BH避免与标识符混淆

• 十进制（Decimal）

无前缀后缀（默认） 或以D、d结尾（明确表示时） text 123, 456D, 789d

2.R进制整数转10进制

好的，我来详细讲解R进制整数转10进制的方法，这是软考必考的计算题。

2.1.按权展开法

公式：

\[ \text{十进制值} = a_n \times R^n + a_{n-1} \times R^{n-1} + \cdots + a_1 \times R^1 + a_0 \times R^0 \]

其中：

• ( R ) = 进制基数（二进制R=2，八进制R=8，十六进制R=16）
• ( a_i ) = 第i位的数字
• ( n ) = 最高位的位置（从0开始计数）

2.2 分步计算法

步骤1：确定每位数字的权重

权重 = ( R^{\text{位置}} )

• 位置编号：从右向左，从0开始
• 最右边是第0位，权重是 ( R^0 = 1 )
• 向左依次：第1位权重 ( R^1 )，第2位权重 ( R^2 )…

步骤2：数字×权重

将每位数字乘以对应的权重

步骤3：求和

把所有乘积相加，得到十进制结果

示例1：二进制转十进制

题目：(1101)₂ = (?)₁₀

计算过程：

位数： 1 1 0 1 位置： 3 2 1 0 ← 从右向左编号 权重： 2³ 2² 2¹ 2⁰ ← 计算权重 =8 =4 =2 =1 计算：1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

答案：(1101)₂ = 13

示例2：八进制转十进制

题目：(237)₈ = (?)₁₀

计算过程：

位数： 2 3 7 位置： 2 1 0 权重： 8² 8¹ 8⁰ =64 =8 =1 计算：2×64 + 3×8 + 7×1 = 128 + 24 + 7 = 159

答案：(237)₈ = 159

示例3：十六进制转十进制

题目：(1A3)₁₆ = (?)₁₀
注意：A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

计算过程：

位数： 1 A 3 值： 1 10 3 ← 字母转数值 位置： 2 1 0 权重：16² 16¹ 16⁰ =256 =16 =1 计算：1×256 + 10×16 + 3×1 = 256 + 160 + 3 = 419

答案：(1A3)₁₆ = 419

3. 10进制整数转R进制

3.1 除基取余法

口诀：除R取余，逆序排列

具体步骤：

1. 除以R：用十进制数除以基数R
2. 记录余数：记录每次除法的余数
3. 商作为新的被除数：用商继续除以R
4. 重复直到商为0
5. 逆序排列：将余数从最后到最前排列

分步计算示例

示例1：十进制转二进制（R=2）

题目：29₁₀ = (?)₂

计算过程：

步骤 除法 商 余数 1 29 ÷ 2 = 14 ... 1 ↑ 2 14 ÷ 2 = 7 ... 0 ↑ 逆序排列 3 7 ÷ 2 = 3 ... 1 ↑ 4 3 ÷ 2 = 1 ... 1 ↑ 5 1 ÷ 2 = 0 ... 1 ↑

余数逆序排列：11101
答案：29₁₀ = 11101₂

示例2：十进制转八进制（R=8）

题目：125₁₀ = (?)₈

计算过程：

步骤 除法 商 余数 1 125 ÷ 8 = 15 ... 5 ↑ 2 15 ÷ 8 = 1 ... 7 ↑ 逆序排列 3 1 ÷ 8 = 0 ... 1 ↑

余数逆序排列：175
答案：125₁₀ = 175₈

示例3：十进制转十六进制（R=16）

题目：300₁₀ = (?)₁₆
注意：余数10-15要转为A-F

计算过程：

步骤 除法 商 余数 十六进制 1 300 ÷ 16 = 18 ... 12 C ↑ 2 18 ÷ 16 = 1 ... 2 2 ↑ 逆序排列 3 1 ÷ 16 = 0 ... 1 1 ↑

余数逆序排列：12©, 2, 1 → 12C₁₆
答案：300₁₀ = 12C₁₆

4.m进制转n进制

先将m进制转化为十进制数，再将十进制数转化为n进制数，中间需要通过十进制中转
但下面两种进制间可以直接转化

分组替换法

4.1.二进制 → 八进制（3位分组）

原理：1位八进制 = 3位二进制（因为8=2³）

步骤：

1. 分组：从小数点开始，向左和向右每3位一组
2. 补零：最左或最右一组不足3位时补0
3. 转换：每组3位二进制直接转换为1位八进制

示例：二进制1101011.1011转八进制

分组：从小数点开始 整数部分： 1 101 011 ↓ ↓ ↓ 补零： 001 101 011 ↓ ↓ ↓ 八进制： 1 5 3 小数部分： 101 1 ↓ ↓ 补零： 101 100 ↓ ↓ 八进制： 5 4 结果：153.54₈

4.2.二进制 → 十六进制（4位分组）

原理：1位十六进制 = 4位二进制（因为16=2⁴）

步骤：

1. 分组：从小数点开始，向左和向右每4位一组
2. 补零：最左或最右一组不足4位时补0
3. 转换：每组4位二进制直接转换为1位十六进制

示例：二进制1101011.1011转十六进制

分组：从小数点开始 整数部分： 110 1011 ↓ ↓ 补零： 0110 1011 ↓ ↓ 十六进制： 6 B 小数部分： 1011 ↓ 补零： 1011 ↓ 十六进制： B 结果：6B.B₁₆

4.3 快速转换表（必须熟记）

4.3.1.二进制-八进制对照表

4.3.2.二进制-十六进制对照表

4.4 特殊技巧

技巧1：利用8421码

对于十六进制转换，可以快速心算：

1101 = 8+4+0+1 = 13 = D 1010 = 8+0+2+0 = 10 = A

技巧2：验证技巧

转换后可以简单验证：

• 八进制每位最大是7（对应二进制111）
• 十六进制每位最大是F（对应二进制1111）

4.5 逆转换：八/十六进制转二进制

4.5.1.八进制 → 二进制

每位八进制扩展为3位二进制

八进制：3 7 5 . 2 4 二进制：011 111 101 . 010 100 简化：11111101.0101₂

4.5.2.十六进制 → 二进制

每位十六进制扩展为4位二进制

十六进制：A 9 . F C 二进制：1010 1001 . 1111 1100 简化：10101001.111111₂