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🔥 内容介绍
一、引言
混沌系统以其对初始条件的极端敏感性、长期行为的不可预测性以及看似随机却又遵循特定规律的特性，在众多领域如通信、密码学、图像处理等展现出巨大应用潜力。分数阶混沌系统作为混沌理论的拓展，相较于整数阶混沌系统，具有更丰富的动力学行为和更高的复杂性，为挖掘新的混沌特性及应用提供了更广阔空间。深入研究并实现分数阶混沌系统的混沌特性，对推动相关领域发展意义重大。
二、分数阶微积分基础
（一）分数阶微积分定义
（二）与整数阶微积分的区别与联系
与整数阶微积分相比，分数阶微积分具有记忆性和遗传性。整数阶导数仅依赖函数在某点及其邻域的局部信息，而分数阶导数则综合了函数从初始时刻到当前时刻的全部历史信息，这使得分数阶系统能更全面描述具有记忆或遗传特性的实际过程。同时，分数阶微积分在极限情况下可退化为整数阶微积分，当 α 趋近于整数 n 时，分数阶导数的性质与整数阶 n 阶导数性质相近，体现了两者的内在联系。
三、分数阶混沌系统构建
⛳️ 运行结果
📣 部分代码
% binomial coefficients calculation:
cp1=1; cp2=1; cp3=1;
for j=1:n
c1(j)=(1-(1+q1)/j)*cp1;
c2(j)=(1-(1+q2)/j)*cp2;
c3(j)=(1-(1+q3)/j)*cp3;
cp1=c1(j); cp2=c2(j); cp3=c3(j);
end
% initial conditions setting:
x(1)=Y0(1);
y(1)=Y0(2);
z(1)=Y0(3);
% calculation of phase portraits /numerical solution/:
for i=2:n
x(i)=(-a*x(i-1)+a*y(i-1)+r*y(i-1)*z(i-1))*h^q1 - memo(x, c1, i);
y(i)=(c*x(i)+d*y(i-1)-x(i)*z(i-1))*h^q2 - memo(y, c2, i);
z(i)=(-b*z(i-1)+x(i)*y(i))*h^q3 - memo(z, c3, i);
end
for j=1:n
Y(j,1)=x(j);
Y(j,2)=y(j);
Y(j,3)=z(j);
end
% T=h:h:TSim;
subplot(3,1,1);
plot(Y(:,1),'b');
xlabel('t');
ylabel('x_{1}')
set(gca,'XTickLabel','0|5|10|15|20|25|30')
subplot(3,1,2);
plot(Y(:,2),'b');
xlabel('t');
ylabel('x_{2}')
set(gca,'XTickLabel','0|5|10|15|20|25|30')
subplot(3,1,3);
plot(Y(:,3),'b');
xlabel('t');
ylabel('x_{3}')
set(gca,'XTickLabel','0|5|10|15|20|25|30')
figure
subplot(2,2,1);
plot(Y(:,1),Y(:,2),'b');
xlabel('x_{1}');
ylabel('x_{2}');
subplot(2,2,2);
plot(Y(:,1),Y(:,3),'b');
xlabel('x_{1}');
ylabel('x_{3}');
subplot(2,2,3);
plot(Y(:,2),Y(:,3),'b');
xlabel('x_{2}');
ylabel('x_{3}');
figure
plot(Y(:,1),Y(:,2),'b');
xlabel('x_{1}');
ylabel('x_{2}');
figure
plot(Y(:,1),Y(:,3),'b');
xlabel('x_{1}');
ylabel('x_{3}');
figure
plot(Y(:,2),Y(:,3),'b');
xlabel('x_{2}');
ylabel('x_{3}');
figure
plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'b');
xlabel('x_{1}');
ylabel('x_{2}');
zlabel('x_{3}');
🔗 参考文献
[1]徐强,包伯成,胡文,等.分数阶混沌系统数值解析与电路仿真研究[J].计算机应用研究, 2010(12):3.DOI:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.12.063.
