Kerdock与Preparata码：原理、性质与应用
1. Kerdock码基础
Kerdock码是一类重要的编码，其长度为 $2^{r + 1}$ 的二进制Kerdock码可定义为特定长度为 $n = 2^r - 1$ 的循环 $\mathbb{Z}_4$ 线性码扩展码的Gray图像。
-定义步骤：
1. 选取一个 $r$ 次本原基本不可约多项式 $H(x)$。
2. 计算 $f(x)$ 为 $(x^n - 1)/((x - 1)H(x))$ 的互反多项式，$f(x)$ 是 $x^n - 1$ 的一个因子。
3. 定义 $K(r + 1)$ 为 $\mathbb{Z}_4$ 上由 $f(x)$ 生成的长度为 $2^r - 1$ 的循环码，其类型为 $4^{n - \text{deg} f} = 4^{r + 1}$。
4. 通过给 $K(r + 1)$ 添加整体奇偶校验得到扩展循环码 $\widetilde{K}(r + 1)$，长度为 $2^r$，类型为 $4^{r + 1}$。
5. Kerdock码 $K(r + 1)$ 定义为 $\widetilde{K}(r + 1)$ 的Gray图像 $G(\widetilde{K}(r + 1))$，长度为 $2^{r + 1}$，有 $4^{r + 1}$ 个码字。
- 示例：当 $n = 2^3 - 1 = 7$ 时，取 $H(x) = x^3 + 2x^2 + x - 1$，则 $f^*(x) = (x^7 - 1)/((x - 1)H(x)) = x^3 - x^2 + 2x - 1$，$f
