目录
1.整数倍抽取
1.1 抗混叠低通滤波
1.2 D倍下采样
1.3 频谱归一化
2.整数倍内插
2.1 I倍零点插入
2.2 插值低通滤波
2.3 频谱压缩
3.MATLAB仿真与分析
1.整数倍抽取
整数倍抽取是对原始离散序列x(n)，仅保留第0、D、2D、3D...个采样点，得到序列y(m)，实现数据降采样、采样率降低D倍。直接抽取会引发频谱混叠，必须先低通滤波再抽取，该过程也叫抽取器。
设原始序列采样率为fs，D为正整数抽取倍数，最终输出采样率fs′=fs/D，完整实现步骤如下：
1.1 抗混叠低通滤波
对原始序列x(n)进行低通滤波，滤除fs/(2D)以上的高频分量，避免后续抽取产生混叠。
滤波时域公式：
滤波频域约束：
1.2 D倍下采样
对滤波后的序列xL(n)，每隔D−1个点舍弃，仅保留n=Dm的采样点。其时域公式如下：
1.3 频谱归一化
抽取序列的频谱是原滤波序列频谱的周期延拓+幅度缩放，延拓周期为π/D，幅度放大D倍。其频域公式如下：
2.整数倍内插
I倍内插，对原始离散序列x(n)，在任意两个相邻采样点之间插入I−1个0值，得到扩展序列，再通过低通滤波插值，实现数据升采样、采样率提升I倍。通过内插，可以补全0值点的真实信号幅值，还原平滑序列，该过程也叫内插器。
设原始序列采样率为fs，I为正整数内插倍数，最终输出采样率fs′=I⋅fs，完整实现步骤如下：
2.1 I倍零点插入
在x(n)相邻采样点间插入I−1个0，得到中间扩展序列xZ(m)，序列长度变为原序列的I倍。其时域公式如下：
2.2 插值低通滤波
在x(n)相邻采样点间插入I−1个0，得到中间扩展序列xZ(m)，序列长度变为原序列的I倍。其滤波时域公式如下：
滤波频域约束：
2.3 频谱压缩
内插序列的频谱是原序列频谱的线性压缩，无频谱混叠/失真，仅采样率提升I倍。其频域公式如下：
3.MATLAB仿真与分析
这里设置原始信号x(n)=0.8*cos(0.1*π*n)+0.3*cos(0.3*π*n)，采样率fs=1000Hz，抽取倍数D=3，内插倍数 I=3 ；滤波器采用FIR低通滤波器，满足截止频率要求。
clc close all clear %% ===================== 1. 生成原始信号 ===================== fs = 1000; % 原始采样率 N = 1000; % 采样点数 n = 0:N-1; % 原始序列索引 x = 0.8*cos(0.1*pi*n) + 0.3*cos(0.3*pi*n); % 原始双频信号 %% ===================== 2. 3倍整数抽取实现 ===================== D = 3; % 抽取倍数 % 步骤1：设计抗混叠低通滤波器 (截止频率pi/D) h_dec = fir1(50, 1/D); % FIR低通滤波器，阶数50，归一化截止频率1/D x_L = filtfilt(h_dec, 1, x); % 零相位滤波，避免相位失真 % 步骤2：D倍下采样 y_dec = x_L(1:D:end); m_dec = 0:length(y_dec)-1; % 抽取序列索引 %% ===================== 3. 4倍整数内插实现 ===================== I = 3; % 内插倍数 % 步骤1：I倍零点插入 x_Z = zeros(1, I*N); x_Z(1:I:end) = x; % 相邻点间插3个0 % 步骤2：设计插值低通滤波器 (截止频率pi/I，幅值增益I) h_int = fir1(50, 1/I)*I; y_int = filtfilt(h_int, 1, x_Z); % 零相位滤波 m_int = 0:length(y_int)-1; % 内插序列索引 %% ===================== 4. 时域图绘制 ===================== figure('Name','时域波形对比','Position',[100,100,1200,800]); % 子图1：原始信号 subplot(3,1,1); plot(n/fs, x, 'b-','LineWidth',1.2); title('原始信号时域波形','FontSize',12); xlabel('时间 t (s)'); ylabel('幅值'); grid on; axis tight; % 子图2：3倍抽取信号 subplot(3,1,2); plot(m_dec/(fs/D), y_dec, 'r-','LineWidth',1.2); title('3倍抽取信号时域波形','FontSize',12); xlabel('时间 t (s)'); ylabel('幅值'); grid on; axis tight; % 子图3：4倍内插信号 subplot(3,1,3); plot(m_int/(fs*I), y_int, 'g-','LineWidth',1.2); title('3倍内插信号时域波形','FontSize',12); xlabel('时间 t (s)'); ylabel('幅值'); grid on; axis tight; %% ===================== 5. 频谱图绘制 ===================== % 频谱计算函数：归一化频率+幅值归一化 func_fft = @(sig) 20*log10(abs(fftshift(fft(sig)))/length(sig)); % 频率轴生成 f_ori = linspace(-fs/2, fs/2, N); % 原始频率轴 f_dec = linspace(-fs/(2*D), fs/(2*D), length(y_dec)); % 抽取频率轴 f_int = linspace(-fs*I/2, fs*I/2, length(y_int)); % 内插频率轴 figure('Name','频谱对比','Position',[100,100,1200,800]); % 子图1：原始信号频谱 subplot(3,1,1); plot(f_ori, func_fft(x), 'b-','LineWidth',1.2); title('原始信号频谱','FontSize',12); xlabel('频率 f (Hz)'); ylabel('幅值 (dB)'); grid on; xlim([-200,200]); % 聚焦有效频段 % 子图2：3倍抽取信号频谱 subplot(3,1,2); plot(f_dec, func_fft(y_dec), 'r-','LineWidth',1.2); title('3倍抽取信号频谱','FontSize',12); xlabel('频率 f (Hz)'); ylabel('幅值 (dB)'); grid on; xlim([-100,100]); % 子图3：4倍内插信号频谱 subplot(3,1,3); plot(f_int, func_fft(y_int), 'g-','LineWidth',1.2); title('3倍内插信号频谱','FontSize',12); xlabel('频率 f (Hz)'); ylabel('幅值 (dB)'); grid on; xlim([-200,200]);仿真结果如下：
从上图可以看到：
3倍抽取信号，波形与原信号完全一致，采样点减少为1/3，时间轴拉伸，幅值无失真；采样率降至1000/3≈333Hz，谱峰位置同步降至50/3≈16.7 Hz、150/3=50Hz，无混叠，谱峰幅值一致；
3倍内插信号，波形比原信号更平滑，采样点增加为3倍，时间轴压缩，幅值与原信号完全匹配。采样率升至3000 Hz，谱峰位置仍为50Hz、150Hz，频谱被压缩，谱峰更尖锐，无失真/杂散。
