4.5 斯密特正交化

1.斯密特正交化简介

2.斯密特正交化实例

3.斯密特正交化QR矩阵

1.斯密特正交化简介

斯密特正交化是线性代数中一种将线性无关向量转化为等价正交组,并进一步得到标准正交基的 经典算法;该算法的本质是利用向量投影,从一组线性无关向量{v1,v2,v3...vk}构造出 一组正交向量{u1,u2,...uk},两者张成相同的子空间;再将正交向量单位化,得到标准 正交基{e1,e2...ek}

2.斯密特正交化实例

假设线性无关向量组为v1,v2,v3,步骤如下:

a.选取列向量线性无关的矩阵

b.正交化(构造正交向量v1,v2,v3)-第一个正交向量

-第二个正交向量

-第三个正交向量

c.单位化(构造标准正交基q1,q2,q3)

d.得出正交矩阵

3.斯密特正交化QR矩阵

矩阵A经过斯密特正交化变成Q矩阵("正交且单位化"),若q1​,q2​,…,qn​是Rm空间的标准正交基， 则对任意向量b∈Rm,都可以唯一表示为

-a1是q1的线性组合-a2是q1,q2的线性组合-a3是q1,q2,q3的线性组合-ak是q1,q2,q3...qk的线性组合

斯密特正交化将矩阵A分解为Q和R,R是上三角矩阵,对于上三角矩阵来说,若对角线元素不等于0,则矩阵可逆,因此R是可逆矩阵