众所周知，麦克斯韦方程组构建了宏观电磁现象的完整理论框架，揭示了电场与磁场的耦合激发、传播规律：时变的电场会激发涡旋磁场，时变的磁场又会激发涡旋电场，电场与磁场的相互耦合、交替激发，会以“波”的形式在空间中传播，形成电磁波。
详见《超简单！“麦克斯韦方程组→波动方程”推导与理解》
那么问题来了，在电磁波传输过程中，是否遵循能量守恒定律？能量又是如何转换的呢？
坡印廷方程的推导基于麦克斯韦方程组的微分形式，如下：
{ ∇ ⋅ D ⃗ = ρ ∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t ∇ ⋅ B ⃗ = 0 ∇ × B ⃗ = μ 0 ( J ⃗ + ε 0 ∂ E ⃗ ∂ t ) . \begin{cases} & \nabla \cdot \vec{D}=\rho \\ & \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ & \nabla \cdot \vec{B}=0 \\ & \nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\left( \vec{J}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) \\ \end{cases} .⎩⎨⎧∇⋅D=ρ∇×E=−∂t∂B∇⋅B=0∇×B=μ0(J+ε0∂t∂E).
详见《一分钟记住麦克斯韦方程组中的散度？旋度？》
根据 “矢量三重积恒等式”：
∇ ⋅ ( E × H ) = H ⋅ ( ∇ × E ) − E ⋅ ( ∇ × H ) （ 1 ） \nabla \cdot \left( E\times H \right)=H\cdot \left( \nabla \times E \right)-E\cdot \left( \nabla \times H \right) （1）∇⋅(E×H)=H⋅(∇×E)−E⋅(∇×H)（1）
将安培-麦克斯韦定律、法拉第电磁感应定律代入，得到：
∇ ⋅ ( E × H ) = − [ E ⋅ J + E ⋅ ( ∂ D / ∂ t ) + H ⋅ ( ∂ B / ∂ t ) ] （ 2 ） \nabla \cdot \left( E\times H \right)=-\left[ E\cdot J+E\cdot \left( \partial D/\partial t \right)+H\cdot \left( \partial B/\partial t \right) \right] （2）∇⋅(E×H)=−[E⋅J+E⋅(∂D/∂t)+H⋅(∂B/∂t)]（2）
由此，定义两个核心物理量：
① 坡印廷矢量S（能流密度矢量）：
S = E × H （ 3 ） S=E\times H（3）S=E×H（3）
物理意义：描述单位时间内通过单位面积的电磁能流，方向为电磁能传播方向，如图所示，（由右手螺旋定则确定：四指从E转向H，拇指指向即为S的方向）。
② 电磁能量密度：
w = w e + w m = 1 / 2 ε E 2 + 1 / 2 μ H 2 （ 4 ） w={{w}_{e}}+{{w}_{m}}={}^{1}/{}_{2}\varepsilon {{E}^{2}}+{}^{1}/{}_{2}\mu {{H}^{2}}（4）w=we+wm=1/2εE2+1/2μH2（4）
其中w e {{w}_{e}}we为电场能量密度，w m {{w}_{m}}wm为磁场能量密度。
结合本构关系D = ε E D=\varepsilon ED=εE、B = μ H B=\mu HB=μH，可进一步推导电磁能量密度的变化率：
对于电场能量密度，其变化率
∂ w e / ∂ t = ∂ ( 1 / 2 ε E 2 ) / ∂ t = ε E ⋅ ∂ E / ∂ t = E ⋅ ( ε ∂ E / ∂ t ) = E ⋅ ∂ D / ∂ t （ 5 ） \partial {{w}_{e}}/\partial t=\partial \left( {}^{1}/{}_{2}\varepsilon {{E}^{2}} \right)/\partial t=\varepsilon E\cdot \partial E/\partial t=E\cdot \left( \varepsilon \partial E/\partial t \right)=E\cdot \partial D/\partial t（5）∂we/∂t=∂(1/2εE2)/∂t=εE⋅∂E/∂t=E⋅(ε∂E/∂t)=E⋅∂D/∂t（5）
对于磁场能量密度，其变化率
∂ w m / ∂ t = ∂ ( 1 / 2 μ H 2 ) / ∂ t = μ H ⋅ ∂ H / ∂ t = H ⋅ ( μ ∂ H / ∂ t ) = H ⋅ ∂ B / ∂ t （ 6 ） \partial {{w}_{m}}/\partial t=\partial \left( {}^{1}/{}_{2}\mu {{H}^{2}} \right)/\partial t=\mu H\cdot \partial H/\partial t=H\cdot \left( \mu \partial H/\partial t \right)=H\cdot \partial B/\partial t（6）∂wm/∂t=∂(1/2μH2)/∂t=μH⋅∂H/∂t=H⋅(μ∂H/∂t)=H⋅∂B/∂t（6）
因此，总电磁能量密度的变化率为：
∂ w / ∂ t = ∂ w e / ∂ t = ∂ w m / ∂ t = E ⋅ ( ∂ D / ∂ t ) = H ⋅ ∂ B / ∂ t （ 7 ） \partial w/\partial t=\partial {{w}_{e}}/\partial t=\partial {{w}_{m}}/\partial t=E\cdot \left( \partial D/\partial t \right)=H\cdot \partial B/\partial t（7）∂w/∂t=∂we/∂t=∂wm/∂t=E⋅(∂D/∂t)=H⋅∂B/∂t（7）
将S = E × H S=E\times HS=E×H和式（7）代入式（2），可得：
∇ ⋅ S = − [ E ⋅ J + ∂ w / ∂ t ] （ 8 ） \nabla \cdot S=-\left[ E\cdot J+\partial w/\partial t \right]（8）∇⋅S=−[E⋅J+∂w/∂t]（8）
对式（8）进行移项，最终得到坡印廷方程的标准微分形式：
∂ w / ∂ t = ∇ ⋅ S = − E ⋅ J （ 9 ） \partial w/\partial t=\nabla \cdot S=-E\cdot J（9）∂w/∂t=∇⋅S=−E⋅J（9）
若考虑导电介质的欧姆损耗，将J = κ E J=\kappa EJ=κE代入式（9），可得到更直观的损耗形式：
∂ w / ∂ t + ∇ ⋅ S = − κ E 2 （ 10 ） \partial w/\partial t+\nabla \cdot S=-\kappa {{E}^{2}}（10）∂w/∂t+∇⋅S=−κE2（10）
对式（9）在任意闭合区域V VV内进行体积分，结合高斯散度定理（∮ A S ⋅ d A = ∫ V ∇ ⋅ S d V \oint_{A}{S\cdot dA=\int_{V}{\nabla \cdot SdV}}∮AS⋅dA=∫V∇⋅SdV，其中A AA为区域V VV的闭合表面积），可得到坡印廷方程的积分形式：
∫ V ∂ w / ∂ t d V + ∮ A S ⋅ d A = ∫ V E ⋅ J d V （ 11 ） \int_{V}{\partial w/\partial tdV}+\oint_{A}{S\cdot dA}=\int_{V}{E\cdot JdV}（11）∫V∂w/∂tdV+∮AS⋅dA=∫VE⋅JdV（11）
积分形式更直观地体现了全局能量守恒（能量守恒定律）：
区域内电磁能量的变化率与通过闭合面的电磁能流净通量之和，等于区域内电磁能量的损耗/转化速率。
由 “麦克斯韦方程组”到“坡印廷方程”，是将场量关系转化为能量变化关系，分离出“能流密度”“能量密度变化率”“能量损耗率”三个核心项，形成坡印廷方程，得到这一能量守恒规律的数学表达式。
