环境诱导退相干：从量子到经典的过渡
1. 维格纳函数与莫亚括号
在宏观但本质上仍是量子的系统中，维格纳函数的动力学由莫亚括号生成，莫亚括号是密度矩阵的冯·诺伊曼方程右侧的维格纳变换。莫亚括号可以通过熟悉的经典泊松括号表示：
(\dot{W} = {H, W}{MB} = -i \sin(i\hbar{H, W}{PB})/\hbar)
其中，(H) 是系统的哈密顿量，(W) 是密度矩阵的维格纳变换。
当哈密顿量中的势 (V) 是解析的时，莫亚括号可以按普朗克常数的幂次展开。因此，维格纳函数的演化由下式给出：
(\dot{W} = {H, W}{PB} + \sum{n\geq1} \frac{\hbar(-1)^n}{2^{2n}(2n + 1)!}\partial_x^{2n + 1}V(x)\partial_p^{2n + 1}W(x, p))
当 (W(x, p)) 是关于动量 (p) 的相当平滑的函数时，上述修正项可以忽略不计。然而，在混沌系统中，仅泊松括号预测，由于维格纳函数在动量上的“挤压”，这些修正项将迅速呈指数增长。因此，经过 (t_{\hbar}) 后，量子“修正”将与上式右侧的第一个经典项相当。此时，泊松括号将不再足以作为演化的近似生成器。相空间分布将在宏观距离上相干扩展，并且 (W) 的片段之间的干涉将起关键作用。
混沌系统中量子 - 经典对应关系丧失的时间尺度可以通过以下公式估计（或更确切地说，上限估计）：
(t_r = \lambda^{-1} \ln(I/\hbar))
其中 (I) 是作用量。
