1.PID简介
PID是比例（Proportional）、积分（Integral）、微分（Differential）的缩写；PID是一种闭环控制算法，它动态改变施加到被控对象的输出值（Out），使得被控对象某一物理量的实际值（Actual），能够快速、准确、稳定地跟踪到指定的目标值（Target）；PID是一种基于误差（Error）调控的算法，其中规定：误差=目标值-实际值，PID的任务是使误差始终为0；PID对被控对象模型要求低，无需建模，即使被控对象内部运作规律不明确，PID也能进行调控。
开环与闭环
开环（Open Loop）：控制器单向输出值给被控对象，不获取被控对象的反馈，控制器对被控对象的执行状态不清楚
闭环（Closed Loop）：控制器输出值给被控对象，同时获取被控对象的反馈，控制器知道被控对象的执行状态，可以根据反馈修改输出值以优化控制
PID公式与系统框图
比例项
只含有比例项的PID输出值：out(t)=K_p∗error(t)
比例项的输出值仅取决于当前时刻的误差，与历史时刻无关。当前存在误差时，比例项输出一个与误差呈正比的值，当前不存在误差时，比例项输出0；K_p越大，比例项权重越大，系统响应越快，但超调也会随之增加；纯比例项控制时，系统一般会存在稳态误差，K_p越大，稳态误差越小。
积分项
含有比例项和积分项的PID输出值：out(t)=K_p∗error(t)+K_i∗∫error(t)dt
积分项的输出值取决于0~t所有时刻误差的积分，与历史时刻有关。积分项将历史所有时刻的误差累积，乘上积分项系数K_i后作为积分项输出值；积分项用于弥补纯比例项产生的稳态误差，若系统持续产生误差，则积分项会不断累积误差，直到控制器产生动作，让稳态误差消失；K_i越大，积分项权重越大，稳态误差消失越快，但系统滞后性也会随之增加。
微分项
含有比例项、积分项和微分项的PID输出值：out(t)=K_p∗error(t)+K_i∗∫error(t)dt+K_d∗derror(t)/dt
微分项的输出值取决于当前时刻误差变化的斜率，与当前时刻附近误差变化的趋势有关。当误差急剧变化时，微分项会负反馈输出相反的作用力，阻碍误差急剧变化；斜率一定程度上反映了误差未来的变化趋势，这使得微分项具有 “预测未来，提前调控”的特性；微分项给系统增加阻尼，可以有效防止系统超调，尤其是惯性比较大的系统K_d越大，微分项权重越大，系统阻尼越大，但系统卡顿现象也会随之增加
稳态误差
PID稳态误差：系统进入稳态时，实际值和目标值存在始终一个稳定的差值
稳态误差产生原因：纯比例项控制时，在稳态时，如果误差e(t)不为零，那么控制器就有一个固定的输出。但这个输出可能正好等于驱动系统到设定值所需的“力”（例如，维持某个流速所需的阀门开度），此时系统达到平衡，但误差却固定在一个非零值上。
例如：用一个弹簧（比例控制器）拉一个物体到指定位置，如果有摩擦力（负载），弹簧就会被拉长到一个固定长度，物体就停在了目标位置之前。这个“拉长的长度”就是稳态误差。
判断是否会产生稳态误差：给被控对象输入0，判断被控对象会不会自发偏移
判断稳态误差的方向：给被控对象输入0，自发偏移方向即为稳态误差方向
位置式PID和增量式PID
位置式PID由连续形式PID直接离散得到，每次计算得到的是全量的输出值，可以直接给被控对象。
增量式PID由位置式PID推导得到，每次计算得到的是输出值的增量，如果直接给被控对象，则需要被控对象内部有积分功能。
增量式PID也可在控制器内进行积分，然后输出积分后的结果，此时增量式PID与位置式PID整体功能没有区别。
位置式PID和增量式PID计算时产生的中间变量不同，如果对这些变量加以调节，可以实现不同的特性。
2.PID程序实现
实现PID程序可简单分为以下几步：
- 确定一个调控周期T，每隔时间T，程序执行一次PID调控
#include "stm32f10x.h" #include "Delay.h" int main(void) { while(1) { /*********/ /*PID调控*/ /*********/ Delay_ms(T); } }#include "stm32f10x.h" #include "Delay.h" int main(void) { Timer_Init(); while(1) { } } void TIM2_IRQHandler(void) { if(TIM_GetITStatus(TIM2,TIM_IT_Update) == SET) { /*********/ /*PID调控*/ /*********/ TIM_ClearITPendingBit(TIM2,TIM_IT_Update); } }#include "stm32f10x.h" #include "Delay.h" uint8_t Flag; int main(void) { Timer_Init(); while(1) { if(Flag == 1) { Flag = 0; /*********/ /*PID调控*/ /*********/ } } } void TIM2_IRQHandler(void) { if(TIM_GetITStatus(TIM2,TIM_IT_Update) == SET) { Flag=1; TIM_ClearITPendingBit(TIM2,TIM_IT_Update); } }- 位置式PID实现
#include "stm32f10x.h" #include "Delay.h" #include "Timer.h" float Target,Actual,Out; //目标值，实际值，输出值 float Kp = ,Ki = ,Kd = ; //比例项，积分项，微分项的权重 float Error0,Error1,ErrorInt, //本次误差，上次误差，误差积分 int main(void) { Timer_Init(); while(1) { Target = 用户指定值； } } void TIM1_UP_IRQHandler(void) { if (TIM_GetITStatus(TIM1, TIM_IT_Update) == SET) { /*每隔时间T，程序执行到这里一次*/ /*PID调控*/ Actual = Encoder_Get(); Error1 = Error0; //获取上次误差 Error0 = Target - Actual; //获取本次误差，目标值减实际值，即为误差值 ErrorInt += Error0; //进行误差积分 Out = Kp * Error0 + Ki * ErrorInt + Kd * (Error0 - Error1); //PID计算 /*输出限幅*/ if (Out > 100) {Out = 100;} //限制输出值最大为100 if (Out < -100) {Out = -100;} //限制输出值最小为100 Motor_SetPWM(Out); //输出值给到电机PWM TIM_ClearITPendingBit(TIM2,TIM_IT_Update); }- 增量式PID实现
#include "stm32f10x.h" #include "Delay.h" #include "Timer.h" float Target,Actual,Out; //目标值，实际值，输出值 float Kp = ,Ki = ,Kd = ; //比例项，积分项，微分项的权重 float Error0,Error1,Error2, //本次误差，上次误差，上上次误差 int main(void) { Timer_Init(); while(1) { Target = 用户指定值； } } void TIM1_UP_IRQHandler(void) { if (TIM_GetITStatus(TIM1, TIM_IT_Update) == SET) { /*每隔时间T，程序执行到这里一次*/ /*PID调控*/ Actual = Encoder_Get(); Error2 = Error1； Error1 = Error0; //获取上次误差 Error0 = Target - Actual; //获取本次误差，目标值减实际值，即为误差值 Out += Kp * (Error0 - Error1) + Ki * Error0 + Kd * (Error0 - 2*Error1 + Error2); //PID计算 /*输出限幅*/ if (Out > 100) {Out = 100;} //限制输出值最大为100 if (Out < -100) {Out = -100;} //限制输出值最小为100 Motor_SetPWM(Out); //输出值给到电机PWM TIM_ClearITPendingBit(TIM2,TIM_IT_Update); }3.PID算法改进
积分限幅：限制积分的幅度，防止积分深度饱和
积分分离：误差小于一个限度才开始积分，反之则去掉积分部分
变速积分：根据误差的大小调整积分的速度
微分先行：将对误差的微分替换为对实际值的微分
不完全微分：给微分项加入一阶惯性单元（低通滤波器）
输出偏移：在非0输出时，给输出值加一个固定偏移
输入死区：误差小于一个限度时不进行调控
积分限幅
问题描述：位置式控制中，如果执行器因为卡住、断电、损坏等原因不能消除误差，则误差积分会无限制加大，进而达到深度饱和状态，此时PID控制器会持续输出最大的调控力，即使后续执行器恢复正常，PID控制器在短时间内也会维持最大的调控力，直到误差积分从深度饱和状态退出积分限幅
实现思路：对误差积分或积分项输出进行判断，如果幅值超过指定阈值，则进行限制
/*获取实际值*/ Actual=读取传感器()； /*获取本次误差和上次误差*/ Errorl = Error0; Error0 = Target -Actual; /*积分项输出*/ Intout += Ki*Error0; /*积分项输出限幅*/ if(Intout>积分项输出上限){Intout=积分项输出上限；} if(Intout<积分项输出下限){Intout=积分项输出下限；} /*PID计算*/ Out = Kp*Error0 + Ki*Intout + Kd*(Error0-Error1); /*输出限幅*/ if(Out>输出上限){Out=输出上限：} if(out<输出下限){out=输出下限；} /*执行控制*/ 输出至被控对象(Out): 44 45/输出限幅*/ 46 if(out>输出上限){Out=输出上限；】 47 if(out<输出下限){Out=输出下限；】 48 49/执行控制*入 50输出至被控对象(Out):积分分离
问题描述：定位置控制中，积分项作用一般位于调控后期，用来消除持续的误差，调控前期一般误差较大且不需要积分项作用，如果此时仍然进行积分，则调控进行到后期时，积分项可能已经累积了过大的调控力，这会导致超调积分分离。
实现思路：对误差大小进行判断，如果误差绝对值小于指定阈值，则加入积分项作用，反之，则直接将误差积分清零或不加入积分项作用。
if(Ki != 0) { if(fabs(Error0 < 30) && fabs(Error0 > -30)) { ErrorInt += Error0; } else ErrorInt = 0; } else ErrorInt = 0; Out = Kp * Error0 + Ki * ErrorInt + Kd * (Error0 - Error1);变速积分
问题描述：如果积分分离阈值没有设定好，被控对象正好在阈值之外停下来，则此时控制器完全没有积分作用，误差不能消除变速积分
实现思路：变速积分是积分分离的升级版，变速积分需要设计一个函数值随误差绝对值增大而减小的函数，函数值作为调整系数，用于调整误差积分的速度或积分项作用的强度
/获取实际值*/ Actua1=读取传感器()； /*获取本次误差和上次误差*/ Errorl = Error0; Erroro = Target - Actual; /*变速积分*/ C=1/(k*fabs(Error0) + 1); /*误差积分*/ ErrorInt += C*Error0; /*PID计算*/ Out = Kp * Error0 + Ki * ErrorInt + Kd * (Error0 - Error1); /*输出限幅*/ if(out>输出上限)(out=输出上限；)】 if(out<输出下限)(Out=输出下限；) /*执行控制*/ 输出至被控对象(Out);微分先行
问题描述：普通PID的微分项对误差进行微分，当目标值大幅度跳变时，误差也会瞬间大幅度跳变，这会导致微分项突然输出一个很大的调控力，如果系统的目标值频繁大幅度切换，则此时的微分项不利于系统稳定微分先行。
实现思路：将对误差的微分替换为对实际值的微分。
Actual_0 = Actual; Actual += Encoder_Get(); Error1 = Error0; Error0 = Target-Actual; DifOut = - Kd * (Actual_0 - Actual); Out = Kp * Error0 + Ki * ErrorInt + DifOut; if (Out > 100) {Out = 100;} //限制输出值最大为100 if (Out < -100) {Out = -100;} //限制输出值最小为100 Motor_SetPWM(Out); //输出值给到电机PWM不完全微分
问题描述：传感器获取的实际值经常会受到噪声干扰，而PID控制器中的微分项对噪声最为敏感，这些噪声干扰可能会导致微分项输出抖动，进而影响系统性能不完全微分。
实现思路：给微分项加入一阶惯性单元（低通滤波器）。
/*获取实际值*/ Actual=读取传感器（）； /*获取本次误差和上次误差*/ Errorl= Error0; Error0 = Target-Actual; /*误差积分*/ ErrorInt += Error0; /*不完全微分*/ Difout = (1-a)*Kd*(Error0 - Error1)+a*Difout; /*PID计算*/ Out=Kp*Error0+ Ki*ErrorInt+Difout; /*输出限幅*/ if（Out>输出上限）{Out=输出上限；} if（Out<输出下限）{Out=输出下限;} /*执行控制*/ 输出至被控对象(Out);输出偏移
问题描述：对于一些启动需要一定力度的执行器，若输出值较小，执行器可能完全无动作，这可能会引起调控误差，同时会降低系统响应速度输出偏移。
实现思路：若输出值为0，则正常输出0，不进行调控；若输出值非0，则给输出值加一个固定偏移，跳过执行器无动作的阶段。
/*获取实际值*/ Actual=读取传感器()； /*获取本次误差和上次误差*/ Error1 = Error0; Erroro = Target -Actual; /误差积分*/ ErrorInt += Error0; /*PID计算*/ Out = Kp * Error0 + Ki * ErrorInt + Kd * (Error0 - Error1); /*输出偏移*/ if (Out > 0) { Out += 偏移值： } else if (Out < 0) { Out -= 偏移值； } else { 0ut=0; } /*输出限幅*/ if(out>输出上限){Out=输出上限；} if(Out<输出下限){Out=输出下限；} /*执行控制*/ 输出至被控对象(Out);输入死区
问题描述：在某些系统中，输入的目标值或实际值有微小的噪声波动，或者系统有一定的滞后，这些情况可能会导致执行器在误差很小时频繁调控，不能最终稳定下来输入死区。
实现思路：若误差绝对值小于一个限度，则固定输出0，不进行调控。
/获取实际值*/ Actual=读取传感器()； /*获取本次误差和上次误差*/ Errorl = Error0; Error0 = Target - Actual; /输入死区* if(fabs(Error0)<死区阈值) { Out =0; } else { /*误差积分*/ ErrorInt += Error0; /*PID计算*/ Out = Kp * Error0 + Ki * ErrorInt + Kd * (Error0 - Error1); } /*输出限幅*/ if(Out>输出上限){Out=输出上限；} if(Out<输出下限){Out=输出下限；} /*执行控制*/ 输出至被控对象(Out);4.多环PID
单环PID只能对被控对象的一个物理量进行闭环控制，而当用户需要对被控对象的多个维度物理量（例如：速度、位置、角度等）进行控制时，则需要多个PID控制环路，即多环PID，多个PID串级连接，因此也称作串级PID。
多环PID相较于单环PID，功能上，可以实现对更多物理量的控制，性能上，可以使系统拥有更高的准确性、稳定性和响应速度。
双环PID的程序实现
#include "stm32f10x.h" //Device header #include "Delay.h" #include "Timer.h" /*定义内环变量*/ float InnerTarget,InnerActual,Innerout; float InnerKp= 值，InnerKi= 值，InnerKd=值 ： float InnerError0,InnerErrorl,InnerErrorInt; /*定义外环变量*/ float OuterTarget,OuterActual,Outerout; float OuterKp= 值，OuterKi= 值，OuterKd= 值： float OuterError0,OuterErrorl,OuterErrorInt; int main(void) { Timer Init () while (1) { /*用户在此处根据需求写入外环PID控制器的目标值*/ OuterTarget=用户指定的一个值； } } void TIM2 IROHandler (void) { static uint16 t Count1,Count2; if (TIM GetITstatus(TIM2,TIM IT Update)=SET) Count1++; if(Count1>=内环周控时间) Count1 0; /*内环每隔时间T1,程序执行到这里一次*/ /*执行内环PID控制*/ InnerActual=读取内环实际值()： InnerErrorl = InnerError0; InnerErroro = InnerTarget - InnerActual: InnerErrorInt += InnerError0; Innerout = InnerKp * InnerErroro + InnerKi * InnerErrorInt + InnerKd * (InnerError0 - InnerErrorl); if(Innerout>上限){Innerout=上限；) if(Innerout<下限){Innerout=下限；) /*内环PID的输出值作用于执行器*/ 输出至被控对象(Innerout); Count2++; if(Count2>=外环调控时间) { Count2 = 0; /*外环每隔时间T2,程序执行到这里一次*/ /*执行外环PID控制*/ OuterActual=读取外环实际值()： OuterErrorl = OuterError0; OuterErroro = OuterTarget - OuterActual; outerErrorInt += OuterError0; Outerout = OuterKp * OuterError0 + OuterKi * OuterErrorInt + OuterKd *(OuterError0 - OuterErrorl); if(Outerout>上限){Outerout=上限；} if(Outerout<下限){Outerout=下限；} /*外环PID的输出值作用于内环PID的目标值*/ InnerTarget = Outerout; } TIM clearITPendingBit (TIM2,TIM IT Update): }
