放大电路的频率响应（二）

继放大电路的频率响应（一）继续介绍

共基电流放大倍数

利用β˙\dot{\beta}β˙​的表达式，可以求出α˙\dot{\alpha}α˙的截止频率：α˙=β˙1+β˙=β01+jf/fβ1+β01+jf/fβ=β01+β0+jf/fβ=β01+β01+jf(1+β0)fβ\dot{\alpha} = \frac{\dot{\beta}}{1 + \dot{\beta}} = \frac{\frac{\beta_0}{1 + jf/f_{\beta}}}{1 + \frac{\beta_0}{1 + jf/f_{\beta}}} = \frac{\beta_0}{1 + \beta_0 + jf/f_{\beta}} = \frac{\frac{\beta_0}{1 + \beta_0}}{1 + j\frac{f}{(1 + \beta_0)f_{\beta}}}α˙=1+β˙​β˙​​=1+1+jf/fβ​β0​​1+jf/fβ​β0​​​=1+β0​+jf/fβ​β0​​=1+j(1+β0​)fβ​f​1+β0​β0​​​

α˙=α01+jffα[fα=(1+β0)fβ]\dot{\alpha} = \frac{\alpha_0}{1 + j\frac{f}{f_{\alpha}}} \quad [f_{\alpha} = (1 + \beta_0)f_{\beta}] \quadα˙=1+jfα​f​α0​​[fα​=(1+β0​)fβ​]

fαf_{\alpha}fα​是使∣α˙∣|\dot{\alpha}|∣α˙∣下降到70.7%α0\alpha_0α0​的频率，称为共基截止频率。fα=(1+β0)fβ≈fTf_{\alpha} = (1 + \beta_0)f_{\beta} \approx f_T \quadfα​=(1+β0​)fβ​≈fT​

可见，共基电路的截止频率远高于共射电路的截止频率（1+β倍），因此共基放大电路可作为宽频带放大电路。 但是共基的放大倍数也减小了（1+β）倍

应用-单管共射放大电路波特图

思路：分为低频，中频和高频段，低频段用来求直流工作点，中频段用H参数模型就能求解，高频段使用混合Π模型。单由于Π模型能向下兼容H参数，所以中高频段直接用Π模型分析就行了。

具体求解

为了方便分析忽略了输入侧的电容
直流通路略过，交流通路和Π模型等效后电路如下图

|这里放大电路为了方便分析忽略了输入侧的电容]]

中频段求解

中频段时，Cπ′C_{\pi}'Cπ′​等效断路（结电容忽略），C等效短路得到下面等效

则带负载的中频放大倍数为

A˙usm=Uo˙Us˙=Uo˙Ui˙∗Ui˙Us˙=RiRs+Ri∗−gmUb′e∗RC∣∣RLrbb′+rb′erb′e∗Ub′e=RiRs+Ri∗rb′erbb′+rb′e(−gm∗RC∣∣RL)Ri是Ui向右侧看进去的输入电阻Ri=Rb​∥(rbb′​+rb′e​)\begin{align} &\dot{A}_{usm}=\frac{\dot{U_{o}}}{\dot{U_{s}}}=\frac{\dot{U_{o}}}{\dot{U_{i}}}*\frac{\dot{U_{i}}}{\dot{U_{s}}}=\frac{R_{i}}{R_{s}+R_{i}}*\frac{-g_{m}U_{b'e}*R_{C}||R_{L}}{\frac{r_{bb'}+r_{b'e}}{r_{b'e}}*U_{b'e}}=\frac{R_{i}}{R_{s}+R_{i}}*\frac{r_{b'e}}{r_{bb'}+r_{b'e}} (-g_{m}*R_{C}||R_{L})\\ &R_{i}是U_{i}向右侧看进去的输入电阻 \\ &R_{i}=R_{b}​∥(r_{bb′}​+r_{b′e​}) \end{align}​A˙usm​=Us​˙​Uo​˙​​=Ui​˙​Uo​˙​​∗Us​˙​Ui​˙​​=Rs​+Ri​Ri​​∗rb′e​rbb′​+rb′e​​∗Ub′e​−gm​Ub′e​∗RC​∣∣RL​​=Rs​+Ri​Ri​​∗rbb′​+rb′e​rb′e​​(−gm​∗RC​∣∣RL​)Ri​是Ui​向右侧看进去的输入电阻Ri​=Rb​​∥(rbb′​​+rb′e​​)​​

空载的中频放大倍数为(去掉RL就行了)

A˙usm空=RiRs+Ri∗rb′erbb′+rb′e(−gm∗RC)\dot{A}_{usm_{空}}=\frac{R_{i}}{R_{s}+R_{i}}*\frac{r_{b'e}}{r_{bb'}+r_{b'e}} (-g_{m}*R_{C})A˙usm空​​=Rs​+Ri​Ri​​∗rbb′​+rb′e​rb′e​​(−gm​∗RC​)

可以看到，中频放大倍数是一个和频率无关的常数

低频段求解

低频段等效就是在Π中频段Π模型的基础上将C加上如图a，因为低频情况下电容C不再能看作是断路。将电容C左侧部分全部进行戴维南等效，其等效电路如图b

Uo’就是中频段时负载开路时(也就是空载时）的电压Uo=gmUbe′∗RCU_{o}=g_{m}U_{be'}*R_{C}Uo​=gm​Ube′​∗RC​
等效后的电阻就是Rc（此时ic=0，相当于断路）

图b是一个一阶高通电路，其截止频率为fL=12π(RL+RC)Cf_{L}=\frac{1}{2\pi(R_{L}+R_{C})C}fL​=2π(RL​+RC​)C1​

(一节高通电路截止频率公式，其中R是等效电阻)

其放大倍数为Ausl=Uo˙Us˙=Uo′˙Us˙∗Uo˙Uo′˙=A˙usm空∗AuuA_{usl}=\frac{\dot{U_{o}}}{\dot{U_{s}}}=\frac{\dot{U_{o}'}}{\dot{U_{s}}}*\frac{\dot{U_{o}}}{\dot{U_{o}'}}=\dot{A}_{usm_{空}}*A_{uu}Ausl​=Us​˙​Uo​˙​​=Us​˙​Uo′​˙​​∗Uo′​˙​Uo​˙​​=A˙usm空​​∗Auu​

AuuA_{uu}Auu​是一阶高通电路的放大倍数Auu=jffL1+jffLA_{uu}=\frac{j\frac{f}{f_{L}}}{1+j\frac{f}{f_{L}}}Auu​=1+jfL​f​jfL​f​​，带入就可计算出低频段的放大倍数

Ausl=A˙usm空∗Auu=A˙usm空∗jffL1+jffLA_{usl}=\dot{A}_{usm_{空}}*A_{uu}=\dot{A}_{usm_{空}}*\frac{j\frac{f}{f_{L}}}{1+j\frac{f}{f_{L}}}Ausl​=A˙usm空​​∗Auu​=A˙usm空​​∗1+jfL​f​jfL​f​​

低频放大倍数是在高通电路放大的基础上乘了中频放大倍数

高频段求解

高频时就要在中频等效的基础上加入CπC_{\pi}Cπ​，如图a；在Cπ′C_{\pi}'Cπ′​左侧向左进行戴维南等效如图b，c

也就是在原来中频等效的基础上，由于电容Cπ’C_{\pi}’Cπ​’的加入，多引入了一个图b的低通电路，那此时的高通放大倍数应该是两个电路放大倍数的乘积（可以像低频段一样一级一级推导出来）

A˙ush=A˙usm∗A˙u\dot{A}_{ush}=\dot{A}_{usm}*\dot{A}_{u}A˙ush​=A˙usm​∗A˙u​

AuA_{u}Au​为低通电路放大倍数，

Au˙=11+jffHfH=12πRCπ′=12πrb′e∣∣(rbb′+Rb∣∣Rs)Cπ′R=rb′e∣∣(rbb′+Rb∣∣Rs)，R是图b中的等等效电阻\begin{align} &\dot{A_{u}}=\frac{1}{1+j\frac{f}{f_{H}}} \\ &f_{H}=\frac{1}{2\pi RC_{\pi}'} =\frac{1}{2\pi r_{b'e}||(r_{bb'}+R_{b}||R_{s})C_{\pi}'}\\ \\ &R=r_{b'e}||(r_{bb'}+R_{b}||R_{s})，R是图b中的等等效电阻 \end{align}​Au​˙​=1+jfH​f​1​fH​=2πRCπ′​1​=2πrb′e​∣∣(rbb′​+Rb​∣∣Rs​)Cπ′​1​R=rb′e​∣∣(rbb′​+Rb​∣∣Rs​)，R是图b中的等等效电阻​​

注意：这里的Cπ’C_{\pi}’Cπ​’是通过中频段计算的K值，结合式Cπ′≈Cπ+(1+∣K˙∣)CμC'_{\pi} \approx C_{\pi} + (1 + |\dot{K}|)C_{\mu}Cπ′​≈Cπ​+(1+∣K˙∣)Cμ​求出来的

求解步骤

分析过程步骤

1. 画出直流通路，求解静态工作点（决定动态参数）得到IEQI_{EQ}IEQ​
2. 画出交流通路，将三极管用Π模型替代
3. 求解Π模型动态参数
   1. 利用IEQ求出rb′e,gmI_{EQ}求出r_{b'e},g_{m}IEQ​求出rb′e​,gm​
   2. 利用fT求出Cπf_{T}求出C_{\pi}fT​求出Cπ​
4. 利用Π模型求解中频段，得到AusmA_{usm}Ausm​和K值（Uce与Ub’e的比值）
5. 利用Π模型求解低频段，等效为低通电路与AusmA_{usm}Ausm​的乘积，计算低通出低通电路的fHf_{_{H}}fH​​即可
6. 利用Π模型求解高频段，等效为高通电路与AusmA_{usm}Ausm​的乘积，计算高通出低通电路的fLf_{_{L}}fL​​即可（此时的Cπ’C_{\pi}’Cπ​’由中频段求出的K求得）

波特图

综合高，中，低频的结果做出波特图，其中相频曲线由波特图绘制方法可以绘出（见上面波特图部分介绍）

可以得出一个直观的结论，在放大的同时也会引起相位移动

• 高频最大-90°
• 中频固定移动-180°
• 低频最大90°

增益带宽积

通频带：fbw=fH−fLf_{bw}=f_{H}-f_{L}fbw​=fH​−fL​

对于放大电路来说，希望通频带越宽越好，但一般带宽越宽，放大倍数就越小（比如共基放大电路），它们存在一个反比关系，它们的乘积称为增益带宽积如下∣A˙usm∗fbw∣≈12π(rbb′+RC)Cμ|\dot{A}_{usm}*f_{bw}|\approx \frac{1}{2\pi(r_{bb'+R_{C}})C_{\mu}}∣A˙usm​∗fbw​∣≈2π(rbb′+RC​​)Cμ​1​

可以看出，一旦三极管选定了，式中的参数也都定下来了，所以增益和带宽的乘积是个定值。在波特图上表现就是中频段围成的面积保持不变。
使用时肯定希望增益带宽积越大越好，所以

• 选管子的时候尽量选Cob（Cμ）小的
• 设计电路时Rc不要太小
• 选管子基区体电阻小一些的

多级放大电路的频率响应

在多级放大电路中含有多个放大管，因而在高频等效电路中就含有多个 Cπ′​（或 Cgs′​），即有多个低通电路。
在阻容耦合放大电路中，如有多个耦合电容或旁路电容，则在低频等效电路中就含有多个高通电路。

放大倍数（增益）

设一个NNN级放大电路各级的电压放大倍数分别为A˙u1,A˙u2,…,A˙uN\dot{A}_{u1}, \dot{A}_{u2}, \dots, \dot{A}_{uN}A˙u1​,A˙u2​,…,A˙uN​，则该电路的电压放大倍数为：A˙u=∏k=1NA˙uk\dot{A}_u = \prod_{k=1}^{N} \dot{A}_{uk} \quadA˙u​=k=1∏N​A˙uk​其对数幅频特性和相频特性表达式为：{20lg⁡∣A˙u∣=∑k=1N20lg⁡∣A˙uk∣φ=∑k=1Nφk \begin{cases} 20\lg |\dot{A}_u| = \sum_{k=1}^{N} 20\lg |\dot{A}_{uk}| \quad\\ \varphi = \sum_{k=1}^{N} \varphi_k \quad\end{cases}{20lg∣A˙u​∣=∑k=1N​20lg∣A˙uk​∣φ=∑k=1N​φk​​

即该电路的增益为各级放大电路增益之和，相移也为各级放大电路相移之和。
下图是两级相同放大电路的波特图，可以看到两级放大电路的通频带比组成它的单级放大电路窄，这个结论可以延申到多级放大电路

截止频率

对于低频多级放大电路来说，其放大倍数可以写成∣A˙ul∣=∏k=1N∣A˙umk∣1+(fLkf)2|\dot{A}_{ul}| = \prod_{k=1}^{N} \frac{|\dot{A}_{umk}|}{\sqrt{1 + \left( \frac{f_{Lk}}{f} \right)^2}}∣A˙ul​∣=k=1∏N​1+(ffLk​​)2​∣A˙umk​∣​

当其放大倍数变为原来的根号二分之一时的频率就是对应的多级放大电路低频段下限截止频率。同理可以求出上限截止频率，结果如下

1. 下限截止频率（fLf_LfL​）的近似式：fL≈1.1∑k=1NfLk2f_L \approx 1.1\sqrt{\sum_{k=1}^{N} f_{Lk}^2}fL​≈1.1k=1∑N​fLk2​​

2. 上限截止频率（fHf_HfH​）的近似式：1fH≈1.1∑k=1N1fHk2\frac{1}{f_H} \approx 1.1\sqrt{\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{f_{Hk}^2}}fH​1​≈1.1k=1∑N​fHk2​1​​