9.6 主题模型：潜在狄利克雷分布及其变体
主题模型是一类旨在从文档集合中自动发现抽象“主题”的无监督机器学习方法。其核心思想是，文档由潜在的主题混合而成，而每个主题则表现为一个在词汇表上的概率分布。潜在狄利克雷分布（Latent Dirichlet Allocation, LDA）是主题模型中最具代表性和影响力的生成式概率模型。它通过引入贝叶斯先验，为文档的主题混合和主题的词项分布提供了完整的生成过程描述，从而能够从非结构化的文本数据中提取可解释的主题结构。本节将系统阐述LDA的基本原理、生成过程、推断方法，并介绍其重要的变体模型。
9.6.1 主题建模的问题定义与LDA的核心思想
给定一个包含MMM篇文档的语料库，每篇文档ddd由NdN_dNd个词（词项）组成，整个语料库的词汇表大小为VVV。传统词袋模型丢失了词序信息，仅保留词频，将文档表示为高维稀疏向量。主题建模的目标是发现KKK个潜在的主题（KKK通常远小于VVV但大于1），每个主题kkk是一个VVV维向量ϕk\boldsymbol{\phi}_kϕk，其中ϕk,v\phi_{k,v}ϕk,v表示词项vvv在主题kkk中出现的概率。同时，为每篇文档ddd分配一个KKK维向量θd\boldsymbol{\theta}_dθd，其中θd,k\theta_{d,k}θd,k表示主题kkk在文档ddd中的混合比例。
LDA的核心创新在于其贝叶斯生成框架[1]。与早期模型（如pLSI）不同，LDA将文档的主题比例θd\boldsymbol{\theta}_dθd和主题的词分布ϕk\boldsymbol{\phi}_kϕk均视为随机变量，并为其分配了先验分布——狄利克雷分布。这使得模型自然地具有处理未知文档、避免过拟合以及量化不确定性的能力。
9.6.2 LDA的生成过程与概率模型
LDA假设文档的生成遵循以下随机过程，其中涉及两个关键的狄利克雷先验参数：α\boldsymbol{\alpha}α和β\boldsymbol{\beta}β。
9.6.2.1 生成过程
- 对于每个主题k=1,...,Kk = 1, ..., Kk=1,...,K：
- 从参数为β\boldsymbol{\beta}β的狄利克雷分布中采样一个主题-词分布：ϕk∼Dir(β)\boldsymbol{\phi}_k \sim \text{Dir}(\boldsymbol{\beta})ϕk∼Dir(β)。
- 对于语料库中的每篇文档d=1,...,Md = 1, ..., Md=1,...,M：
- 从参数为α\boldsymbol{\alpha}α的狄利克雷分布中采样一个文档-主题分布：θd∼Dir(α)\boldsymbol{\theta}_d \sim \text{Dir}(\boldsymbol{\alpha})θd∼Dir(α)。
- 对于文档ddd中的每一个词位n=1,...,Ndn = 1, ..., N_dn=1,...,Nd：
a. 从以θd\boldsymbol{\theta}_dθd为参数的多项式分布中采样一个主题编号：zd,n∼Multinomial(θd)z_{d,n} \sim \text{Multinomial}(\boldsymbol{\theta}_d)zd,n∼Multinomial(θd)。
b. 从以ϕzd,n\boldsymbol{\phi}_{z_{d,n}}ϕzd,n
