78、卷积码相关知识解析

卷积码相关知识解析

1. 卷积码概述

卷积码在 1967 年维特比算法被发现后得到了更广泛的应用。对于一个 $(n, k)$ 卷积码，维特比算法的复杂度在很大程度上取决于记忆长度 $M$ 和 $k$。因此，该算法通常仅用于 $M$ 和 $k$ 相对较小的情况。此外，卷积码还有其他解码算法，如顺序解码，但每种算法都有其自身的缺点。

2. 规范生成矩阵

卷积码可以有许多不同的生成矩阵，包括那些元素是 $D$ 的有理函数而非多项式的矩阵。这里主要关注多项式生成矩阵，其中首选的是规范生成矩阵。

2.1 相关术语

• 行的度数：设 $G = [g_{i, j}(D)]$ 是一个 $k × n$ 多项式矩阵，$G$ 的第 $i$ 行的度数定义为该行元素的最大度数。
• 外部度数：$G$ 的外部度数，记为 $\text{extdeg} G$，定义为 $G$ 的 $k$ 行度数之和。

示例：对于 $(2, 1)$ 卷积码 $C_1$ 的生成矩阵 $G_1$ 和 $G_1’$，它们的外部度数分别为 2 和 3。同一示例中代码 $C_2$ 的生成矩阵 $G_2$ 的外部度数为 $2 + 1 = 3$。

2.2 规范生成矩阵的定义

卷积码 $C$ 的规范生成矩阵是指在所有多项式生成矩阵中外部度数最小的多项式生成矩阵。根据定义，每个卷积码都有一个规范生成矩阵，这个最小的外部度数被称为码 $C$ 的度数。