数字信号处理篇---巴特沃斯滤波器设计（总）

我将系统讲解如何从巴特沃斯低通原型设计高通、带通、带阻滤波器。这是考试和工程设计中的核心内容，关键在于频率变换。

一、总体设计思想（核心）

所有滤波器的设计都归结为以下两步：

1. 频率变换：将目标滤波器（高通/带通/带阻）的指标，通过特定映射关系，转换为一个模拟低通原型的指标。

2. 原型设计：用巴特沃斯设计方法，设计出满足该指标的模拟低通滤波器 HLP(λ)。

3. 逆变换：通过对应的逆频率变换，将 HLP(λ) 转换为目标滤波器的系统函数 Hdesired(s)。

最后若需要数字滤波器，再进行双线性变换。

下图展示了从模拟低通原型到各类滤波器的经典转换关系：

二、通用设计步骤（适用于所有类型）

步骤流程：

1. 确定目标滤波器指标（数字或模拟）。

2. 若为数字，先进行预畸变（双线性变换：），得到模拟目标频率。

3. 将模拟目标指标转换为低通原型指标（关键步骤，使用频率变换公式）。

4. 设计巴特沃斯低通原型HLP(λ)。

5. 对 HLP(λ) 进行逆频率变换，得到目标模拟滤波器 Hdesired(s)Hdesired​(s)。

6. 若需要数字滤波器，进行双线性变换。

三、高通滤波器（HPF）设计

1. 频率变换关系

2. 指标转换

给定高通指标：通带边界 Ωp​（衰减 αpαp​），阻带边界 Ωs​（衰减 αsαs​），且Ωs​<Ωp​（高通中频率越高衰减越小）。

转换为低通原型指标：

注意：低通原型的通带边界 λp​、阻带边界 λs​，衰减要求 αp​,αs​ 不变。

3. 设计步骤

1. 由 λp,λs,αp,αs​ 设计巴特沃斯低通原型 HLP​(λ)。

2. 进行逆变换：在 HLP(λ) 中代入​​，得到高通系统函数：

4. 例子（考试常见）

解：

四、带通滤波器（BPF）设计

1. 频率变换关系

2. 指标转换

给定带通指标：

映射关系：

• 通带边界映射：

• 阻带边界映射：

3. 设计步骤

五、带阻滤波器（BSF/陷波）设计

1. 频率变换关系

2. 指标转换

给定带阻指标：

映射关系：

• 阻带边界映射：

  因此低通原型的阻带边界为λs​=1。

• 通带边界映射：

  取绝对值，低通原型的通带边界为：

3. 设计步骤

六、数字滤波器设计完整流程（以带通为例）

步骤：

1. 预畸变：

2. 计算带通参数：

3. 转换为低通指标：

4. 设计巴特沃斯低通原型：

5. 逆变换得模拟带通：

6. 双线性变换得数字带通：

七、考试要点与易错点

1. 记住四个变换公式（低通原型↔目标）：

2. 参数选择

3. 映射后衰减不变：αp,αs在变换中保持不变

4. 模拟↔数字：先设计模拟目标滤波器，再进行双线性变换；或先预畸变，再设计模拟低通原型

5. 阶数计算：用变换后的低通指标 λp,λs 计算巴特沃斯阶数

核心思想：所有滤波器设计都回归到巴特沃斯低通原型的设计，关键在于正确的频率变换。掌握这个，你就掌握了IIR滤波器设计的精髓。