赋范空间 方阵范数与方阵的谱半径

方阵的范数概念

我们可以把方阵拉平然后根据向量的范数去定义方阵的范数。

这一节引入方阵范数之后就比较容易弄混

1. 方阵的范数
2. 方阵范数
3. 方阵的算子范数

方阵范数

设∥ ⋅ ∥ \|\cdot\|∥⋅∥是线性空间C n × n \mathbb{C}^{n \times n}Cn×n上的一种范数，若∥ ⋅ ∥ \|\cdot\|∥⋅∥满足次乘性，即∀ A , B ∈ C n × n \forall A,B \in \mathbb{C}^{n \times n}∀A,B∈Cn×n，有∥ A B ∥ ≤ ∥ A ∥ ∥ B ∥ \|AB\| \le \|A\|\|B\|∥AB∥≤∥A∥∥B∥，则称∥ ⋅ ∥ \|\cdot\|∥⋅∥是方阵C n × n \mathbb{C}^{n \times n}Cn×n上的方阵范数，∥ A ∥ \|A\|∥A∥称为A AA的方阵范数。

方阵范数需要满足：

1. 范数三公理
2. 次乘性

方阵的算子范数一定是 方阵范数，∥ A ∥ ∞ \|A\|_{\infty}∥A∥∞​、∥ A ∥ 1 \|A\|_{1}∥A∥1​都是A AA的方阵范数。

方阵的F − 范数 F-范数F−范数是方阵范数但是不是A AA的算子范数

单位阵的范数不等于一

方阵范数与向量范数相融

利用方阵范数构造向量范数

方阵的谱半径

方阵A AA的大小出了用范数度量，还可以用它的特征值的模来度量。

设A ∈ C n × n A \in \mathbb{C}^{n \times n}A∈Cn×n的n nn个 特征值为λ 1 , λ 2 , λ 3 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\cdots,\lambda_nλ1​,λ2​,λ3​,⋯,λn​，称非负实数
ρ ( A ) = max ⁡ { ∣ λ 1 ∣ , ∣ λ 2 ∣ , ⋯ , ∣ λ n ∣ } \rho(A) = \max\{|\lambda_1|,|\lambda_2|,\cdots,|\lambda_n|\}ρ(A)=max{∣λ1​∣,∣λ2​∣,⋯,∣λn​∣}
为方阵A AA的谱半径。

因为相似矩阵具有相同的特征值和特征多项式，所以自然谱半径也是相同的。

方阵的三种算子范数

计算（必须要会计算）：