洛伦兹协变性相关研究：从空间变换到算子关系的深入剖析
1. 洛伦兹变换下的映射与代数性质
在洛伦兹变换的研究中，我们从一个平滑函数入手。该函数在(-1 \leq x_1 \leq 1)区间内，从(-1)平滑递增到(+1)，因此在(\vert y_1 \vert \leq 1)内存在平滑的反函数(x_1 = \gamma(y_1, \eta))。通过代入这个反函数，我们得到了(\tilde{x} = \sqrt{1 + \eta^2 + 2\eta\gamma(y_1, \eta)} \tilde{y})，这为我们提供了所需的平滑逆映射(\Upsilon)。
在代数性质方面，由于(\kappa)和伸缩变换(S_c)的应用使(Op_{\psi c}^m)和(O(-\infty))保持不变，我们得到了(A’{\epsilon,\delta} = P{\epsilon}A’P_{\delta} = (A_{\epsilon\delta})’ = \frac{1}{c} \kappa S_c E^{-\epsilon\eta}A_{\epsilon\delta}E^{-\delta\eta}S_{1/c}\kappa)（其中(\epsilon, \delta = \pm)）。由此可以得出(RPR^\subset P)以及(RPXR^\subset PX)，这完成了相关定理的证明。
当势(V)和(A_j)消失时，由引入新的时空坐标（(x_1) - 推进变换）所生成的变换(A \to A’ = RAR^*)使两个代数(P)和(PX)保持不变。这是条件对称性的结果，使得我们可以将相关定理应用于逆洛伦兹变换。
