状态空间模型与状态反馈控制详解
在现代控制理论中，状态空间模型是一种重要的工具，它可以用于描述和分析动态系统的行为。下面将详细介绍状态空间模型中的系统特征值、控制器设计方法，以及状态反馈控制中的可控性和可观测性等关键概念。
系统特征值
在连续时间系统和离散时间系统中，系统特征值起着重要作用。设 $\lambda$ 为连续时间系统矩阵 $A_c$ 的特征值，$z$ 为采样间隔为 $\Delta t$ 的对应离散时间系统矩阵 $A$ 的特征值。由于 $A = e^{A_c\Delta t}$，可以得到以下关系：
- $z = e^{\lambda\Delta t}$ （式 7.30）
- 反之，$\lambda = \frac{\ln z}{\Delta t}$ （式 7.31）
需要注意的是，从离散时间模型到连续时间模型的转换不是唯一的。因为复数自然对数的虚部可以通过加上 $2\pi$ 的任意倍数来调整，这使得 $\lambda$ 可以取不同的值，即：
$z = e^{\lambda\Delta t} = e^{\lambda\Delta t + 2ik\pi} \Rightarrow \lambda + i\frac{2k\pi}{\Delta t} = \frac{\ln z}{\Delta t}$ （式 7.32）
其中 $k$ 为任意整数。这对应于一个事实：在采样时刻观察时，任何相差 $2\pi / \Delta t$ 整数倍的两个频率是无法区分的。因此，在实际应用中，如果要解释物理系统的固有频率，要么采样间隔 $\Delta t$ 必须足够短，要么必须添加一个滤波器，以防止超过奈奎斯特频率的频率被误解释为真实频率。
